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Wie man beim Weierstraßschen Aufbau der Funktionentheorie das Cauchysche Integral vermeidet. (German) Zbl 0707.30002
Zwar ist jedem Funktionentheoretiker bekannt, daß unsere Vorväter scharf unterschieden haben zwischen dem Riemannschen, Cauchyschen und Weierstraßschen Aufbau der Funktionentheorie. Wie aber im einzelnen die grundlegenden Sätze bei dem strengen Weierstraßschen Zugang, also ohne Verwendung des Integrals, bewiesen werden können, ist dem Bewußtsein der meisten Mathematiker entschwunden. Das Verdienst des Verfassers ist es, zu zeigen, wie man ausgehend von Eigenschaften der Potenzreihen ableiten kann: Koeffizienten-Abschätzungen, Eindeutigkeit der Laurent-Entwicklung, Identitätssatz für analytische Funktionen, Satz von Liouville, Fundamentalsatz der Algebra. Besonders ausführlich werden die beiden Beweise der Existenz der Laurent-Entwicklung einer im Kreisring analytischen Funktion diskutiert: Der Beweis von Mittag-Leffler und der von Scheeffer, beide aus dem Jahr 1884, und ihre Beurteilung durch Pringsheim aus dem Jahr 1896. Die Arbeit schließt mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz und dem Satz von Gelfand-Mazur. Zahlreiche interessante historische Hinweise.
Reviewer: D.Gaier
MSC:
30-03 History of functions of a complex variable
30B10 Power series (including lacunary series) in one complex variable
30-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to functions of a complex variable
01A55 History of mathematics in the 19th century
01A72 Schools of mathematics
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