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Diophantische Geometrie: Effektivität und einige Probleme. (Diophantine geometry: Effectivity and certain problems). (German) Zbl 0745.11025
In vorliegenden Übersichtsartikel diskutiert Verf. vier Problemkreise. Im Abschnitt 1 wird der Beweis der Oberschranke von E. Bombieri und W. M. Schmidt [Invent. Math. 88, 69-81 (1987; Zbl 0614.10018)] für die Lösungsanzahl der Thue-Gleichung (*): \(| F(x,y)|=h\) skizziert, wobei \(h\in\mathbb{N}\) und \(F\in\mathbb{Z}[x,y]\) eine irreduzible Form vom Grad \(\geq 3\) ist. Ein Problem, dessen Lösung weitreichende Verallgeinerungen des Bombieri-Schmidtschen Resultats zuließe, wird formuliert. Im Abschnitt 2 wird gezeigt, wie den Lösungen \((x,y)\in\mathbb{Z}^ 2\) von (*) via Einheitsgleichung eine Linearform \(\Lambda:=\sum b_ j \log \alpha_ j\neq 0\) mit allen \(\alpha_ j\in\overline{Q}^ \times\), \(b_ j\in\mathbb{Z}\) zugeordnet werden kann derart, daß man die \(| x|\), \(| y|\) effektiv nach oben (in Abhängigkeit von \(F\) und \(h\)) beschränken kann. Die Hauptrolle spielen dabei untere Abschätzungen für \(|\Lambda|\) vom Bakerschen Typ, die vom Verf. [New advances in transcendence theory, Proc. Symp., Durham/UK 1986, 399-410 (1988; Zbl 0659.10036)] zuletzt verbessert wurden. Im Abschnitt 3 wird das elliptische Analogon zum Lehmer-Problem formuliert und dann vor allem der Beitrag von D. W. Masser [Bull. Soc. Math. Fr. 117, No. 2, 247-265 (1989; Zbl 0723.14026)] gewürdigt, inklusive einiger interessanter Folgerungen aus dem Masserschen Ergebnis. Im 4. Abschnitt schließlich wird die Tate- Vermutung für algebraische Varietäten vorgestellt und angedeutet, wie diese im Spezialfall elliptischer Kurven aus dem Hauptresultat von D. W. Masser und Verf. [Invent. Math. 100, No. 1, 1-24 (1990; Zbl 0722.14027)] abgeleitet werden kann. Dies ist seinerseits mit Mitteln der analytischen Transzendenztheorie gewonnen und vollständig effektiv.
MSC:
11D41 Higher degree equations; Fermat’s equation
11J86 Linear forms in logarithms; Baker’s method
11G05 Elliptic curves over global fields
14H52 Elliptic curves
14G40 Arithmetic varieties and schemes; Arakelov theory; heights
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