Machala, František Constructions of some finite modular incidence structures. (Konstruktionen einiger endlicher modularer Inzidenzstrukturen.) (German) Zbl 0764.51011 Acta Univ. Palacki. Olomuc., Fac. Rerum Nat. 100, Math. 30, 235-255 (1991). Eine Inzidenzstruktur \((\underline P,{\mathfrak L})\) wird hier modular genannt, wenn gilt: (A1) \(\forall p,q\in\underline P\), \(p\neq q\exists L\in{\mathfrak L}\): \(p,q\in L\), (A2) \(\forall A,B\in{\mathfrak L}:A\cap B\neq\emptyset\),(A3) Für \(a,b,x\in\underline P\), \(a\neq x\) und \(\forall C\in{\mathfrak L}(a,b):=\{X\in{\mathfrak L}| a,b\in X\}\) gelte \(x\in C\). Dann gilt \(\forall D\in{\mathfrak L}(a,x):b\in D\). (A4) Für \(A,B,X\in{\mathfrak L}\), \(A\neq X\) gelte \(A\cap B\subset X\). Dann gilt \(A\cap X\subset B\).Der Autor gibt zunächst Beispiele endlicher modularer Inzidenzstrukturen an und betrachtet dann solche, die eigentlich sind, d.h. es gelten: \(\forall A,B\in{\mathfrak L}:| A\cap B|\geq 2\), \(\forall a,b\in\underline P:|{\mathfrak L}(a,b)|\geq 2\) und \(\exists a,b\in\underline P\), \(M,N\in{\mathfrak L}\) mit \({\mathfrak L}(a)\not\subset{\mathfrak L}(b)\) und \(M\not\subset N\). Dann inzidiert jede Gerade \(L\in{\mathfrak L}\) mit mindestens drei Punkten und jeder Punkt \(p\in\underline P\) mit mindestens drei Geraden. Für \(n=3\) und \(n=4\) werden alle eigentlichen modularen Inzidenzstrukturen bestimmt, die einen Punkt \(p\in\underline P\) enthalten, der mit genau \(n\) Geraden inzidiert. Reviewer: H.Karzel (München) Cited in 1 Document MSC: 51E25 Other finite nonlinear geometries 51B99 Nonlinear incidence geometry 51G05 Ordered geometries (ordered incidence structures, etc.) Keywords:modular ordered sets; finite modular incidence structures PDFBibTeX XMLCite \textit{F. Machala}, Acta Univ. Palacki. Olomuc., Fac. Rerum Nat., Math. 30, 235--255 (1991; Zbl 0764.51011) Full Text: EuDML References: [1] Machala F.: Modulare Inzidenzstrukturen. Čas. pro pěst. mat. · Zbl 0853.08001 [2] Rachůnek J., Larmerová J.: Translation of distributive and modular ordered sets. Acta Univ. Pal. Ol., Vol. 91 (1988), 13-25. · Zbl 0693.06003 This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.