Germs of holomorphic foliations with prescribed holonomy. (Germes de feuilletages holomorphes à holonomie prescrite.) (French) Zbl 0809.32008

Pérez-Marco, Ricardo; Yoccoz, Jean-Christophe

Camacho, C. (ed.) et al., Complex analytic methods in dynamical systems. Proceedings of the congress held at Instituto de Matemática Pura e Aplicada, IMPA, Rio de Janeiro, Brazil, January 1992. Paris: Société Mathématique de France, Astérisque. 222, 345-371 (1994).

On considère les germes \({\mathcal F}\) de feuilletages holomorphes définis au voisinage de l’origine dans \(\mathbb{C}^ 2\) par un système différentiel \(\dot x = X_ 1 (x,y)\), \(\dot y = X_ 2 (x,y)\), où le champ de vecteurs holomorphe \(X = (X_ 1, X_ 2)\) s’annule à l’origine; \(\lambda_ 1\), \(\lambda_ 2\) étant les valeurs propres de la partie linéaire de \(X\) à l’origine, on se place dans le cas (de Siegel) où \(\alpha = - \lambda_ 2/ \lambda_ 1 > 0\). Alors un changement de variables holomorphe ramène \(X\) à la forme canonique \[ X_ 1 = - x(1 + \cdots), \quad X_ 2 = \alpha y(1 + \cdots), \tag{1} \] et l’holonomie de la variété invariante \(\{(x,0) : x \neq 0\}\) suivant le lacet \([0,1] \ni t \mapsto (e^{2 \pi it}, 0)\) conduit à un germe en 0 de difféomorphisme holomorphe de \(\mathbb{C}\), de la forme \[ f(z) = e^{2 \pi i \alpha} z + \cdots. \tag{2} \] [J.-F. Mattei and R. Moussu, Ann. Sci. Ec. Norm Supér., IV. Sér. 13, 469-523 (1980; Zbl 0458.32005)]. On montre ici que tout germe en 0 de difféomorphisme de \(\mathbb{C}\) de la forme (2) peut être ainsi réalisé à partir d’un germe de champ de la forme (1), de sorte que la connaissance (plus approfondie) des germes de difféomorphismes de \(\mathbb{C}\) fournit de nouveaux résultats sur les germes \({\mathcal F}\).
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Reviewer: M.Hervé (Paris)

MSC:

32S65

Singularities of holomorphic vector fields and foliations

Keywords:

genus of holomorphic foliations; holonomy; diffeomorphisms

Citations:

Zbl 0458.32005