Colliot-Thélène, Jean Louis Linear groups on the function fields of real curves. (Groupes linéaires sur les corps de fonctions de courbes réelles.) (French) Zbl 0847.11017 J. Reine Angew. Math. 474, 139-167 (1996). Soit \(Y\) une courbe projective, lisse et géométriquement intègre sur le corps \(\mathbb{R}\) des réels, et soit \(K= \mathbb{R}(Y)\) son corps des fonctions. Pour \(P\) point fermé de \(Y\), soit \(K_P\) le corps topologique complété de \(K\) pour la valuation associée. Soit \(G/K\) un \(K\)-groupe linéaire connexe. Par analogie avec le cas des corps de nombres, et dans le prolongement de résultats de E. Witt [J. Reine Angew. Math. 171, 4-11 (1934; Zbl 0009.29103); J. Reine Angew. Math. 176, 31-44 (1936; Zbl 0015.05701)] et de J. T. Knight [Proc. Camb. Philos. Soc. 65, 635-650 (1969; Zbl 0176.50703)], on peut se poser les questions suivantes:1) Les espaces homogènes (non nécessairement principaux) sous \(G\) satisfont-ils le principe de Hasse strict (resp. fort): si \(E/K\) est un tel espace, et \(E(K_P)\) est non vide pour tout (resp. presque tout) point fermé \(P\in Y\), existe-t-il un point \(K\)-rationnel sur \(E\)?2) Soit \(E\) un espace homogène (non nécessairement principal) sous \(G\), et supposons \(E(K)\neq \emptyset\). L’approximation faible vaut-elle pour \(E\): pour tout ensemble fini \(S\) de points fermés (réels ou complexes) de \(Y\), l’image diagonale de \(E(K)\) dans le produit topologique \(\prod_{P\in S} E(K_P)\) des ensembles de points locaux est-elle dense (chaque \(E(K_P)\) étant muni de la topologie induite par celle de \(K_P\))?En m’appuyant en particulier sur des résultats de C. Scheiderer [Real and Étale Cohomology, Springer Lect. Notes Math. 1588 (1994)], je montre:1) Pour tout \(K\)-group algébrique linéaire connexe \(G/K\), l’approximation faible vaut: pour tout ensemble fini \(S\) de points fermés de \(Y\), l’image diagonale de \(G(K)\) dans le produit \(\prod_{P\in S} G(K_P)\) est dense.2) Pour les espaces principaux homogènes \(E\) sous un \(K\)-tore algébrique, le principe de Hasse fort vaut: de l’hypothèse \(E(K_P)\neq \emptyset\) pour presque tout point fermé \(P\in Y\), on conclut \(E(K)\neq \emptyset\).3) Soit \(\widetilde G\to G\) une isogénie centrale de \(K\)-groupes réductifs connexes. Si le principe de Hasse fort vaut pour les espaces principaux homogènes sous \(\widetilde G\), alors il vaut pour les espaces principaux homogènes sous \(G\).Pour des variétés algébriques projectives et lisses sur \(K= \mathbb{R}(Y)\), en utilisant des lois de réciprocité bien connues sur la courbe \(Y\), je définis des obstructions au principe de Hasse et à l’approximation faible (analogues des obstructions de Brauer-Manin). On voit ainsi que les énoncés ci-dessus ne sauraient s’étendre sans modification à de plus vastes classes de variétés.Plusieurs auteurs ont depuis travaillé sur les problèmes soulevés dans l’article, et la plupart des problèmes concernant les espaces homogènes de groupes linéaires ont été résolus. On consultera les articles: A. Ducros, Principe de Hasse pour les espaces principaux homogènes sous les groupes classiques sur un corps de dimension cohomologique virtuelle au plus 1, Manuscr. Math. 89, 335-354 (1996); C. Scheiderer, Hasse principles and approximation theorems for homogeneous spaces over fields of virtual cohomological dimension one, Preprint, Regensburg (1995); C. Scheiderer, Classification of Hermitian forms and semisimple groups over fields of virtual cohomological dimension one, Manuscr. Math. 89, 373-394 (1996); E. Bayer-Fluckiger and R. Parimala, Hasse principle for the classical groups over fields of virtual cohomological dimension at most 2, Preprint, Besançon (1996). Reviewer: J.L.Colliot-Thélène (Orsay) Cited in 4 ReviewsCited in 10 Documents MSC: 11E72 Galois cohomology of linear algebraic groups 14H05 Algebraic functions and function fields in algebraic geometry 14P99 Real algebraic and real-analytic geometry 20G35 Linear algebraic groups over adèles and other rings and schemes 14M17 Homogeneous spaces and generalizations Keywords:linear groups; real curves; projective curves; function fields; strong Hasse principle; homogeneous spaces; existence of \(K\)-rational points; weak approximation; density of local points; diagonal image; central isogeny; principal homogeneous spaces; projective algebraic varieties; reciprocity law; obstruction to the Hasse principle; obstruction to weak approximation; Galois cohomology Citations:Zbl 0009.29103; Zbl 0015.05701; Zbl 0176.50703 × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: DOI Crelle EuDML