On series of fractions analogous with Farey series. (Sur des suites de fractions, analogues à la suite de Farey.) (French) JFM 09.0120.03

Halphén, G.

Bull. S. M. F. V, 170-175 (1877).

Eine Faray’sche Reihe umfasst alle Brüche, deren Nenner eine gegebene ganze Zahl nicht überschreiten. Die Brüche müssen aber auf die kleinste Benennung gebracht und nach ihrer Grösse geordnet werden. Zwei aufeinanderfolgende Glieder der Reihe haben theilerfremde Nenner; ihre Differenz ist ein Bruch mit dem Zähler 1. Werden 3 aufeinanderfolgende Brüche \(\frac{a}{b},\frac{a'}{b'},\frac{a''}{b''}\) beliebig herausgegriffen, so ist der aus der Summe der Zähler und Nenner der beiden äusseren gebildete Bruch \(\frac{a+a''}{b+b''}\) gleich dem mittelsten Bruch \(\frac{a'}{b'}\). Diese von Farey und Cauchy gefundenen Sätze (Bulletin des Sciences 1816) dehnt der Verfasser auch auf andere Reihen mit analogem Bildungsgesetze aus. Er nennt der Bruch \(\frac{a+a'}{b+b'}\) den Mittelbruch (la moyenne) zu \(\frac{a}{b}\) und \(\frac{a'}{b'}\) und interpolirt eine Reihe von commensurabeln Zahlen, welche auf die kleinste Benenngung gebracht und nach der Grösse geordnet sind, dadurch, dass er zu je zwei aufeinanderfolgenden die Mittelbrüche bildet und einschaltet. Aus der Reihe \(\frac{0}{1}, \frac{1}{0}\) lassen sich nun durch forgesetzte Anwendung dieses Interpolationsverfahrens beliebig viele Reihen ableiten, welche alle oben angeführten Eigenschaften der Farey’schen Reihe kann eine vollzählige Reihe \(n^{\text{ter}}\) Ordnung heissen. Sie umfasst alle Zahlen und nur solche, für welche in der Kettenbruchentwickelung die Summe der Nenner nicht grösser als \(n\) ist. In Betreff der andern mit Hülfe der vollzähligen Reihen bewiesenen Theoreme verweisen wir auf die Arbeit selbst.

Reviewer: Schemmel, Dr. (Berlin)

MSC:

11B57

Farey sequences; the sequences \(1^k, 2^k, \dots\)

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Zahlentheorie. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Farey series