Kirchhoff, G. Zur Theorie des Condensators. (German) JFM 09.0741.01 Berl. Monatsber. 1877, 144-162 (1877). Ein Condensator besteht in seiner einfachsten Form aus zwei parallelen kreisförmigen Metallplatten in sehr kleiner Entfernung.Aufgabe der Theorie ist es, diejenigen Elektricitätsmengen zu berechnen, welche den beiden Platten mitgetheilt werden müssen, damit das Potential auf denselben gegebene, constante Werthe hat. Zur Lösung dieser Aufgabe genügt es, diejenigen Elektricitätsmengen zu kennen, bei welchen die Potentiale +1 und \(-1\), und die, bei welchen die Potentiale auf beiden Platten gleich +1 sind.Eine angenäherte Lösung der ersten Aufgabe erhält man, wenn man annimmt, dass die beiden Platten mit gleichen Mengen Elektricität von constanter Dichtigkeit und entgegengesetzten Vorzeichen belegt sind. Doch lässt sich übersehen, dass in der Nähe der Ränder die Dichtigkeiten nicht unerheblich von den angenommenen Werthen abweichen müssen. Eine genauere Lösung ist von Clausius (Pogg. Ann. LXXXVI) gegeben worden.Der Verfasser hat auf erheblich einfacherem Wege eine strenge Lösung des Problems mit Benutzung der Theorie der Functionen einer complexen Variabeln gefunden.Wenn die Anordnung der Elektricität symmetrisch um eine Axe ist, wie z. B. in dem vorliegenden Fall, so muss das Potential \(\varphi\) der freien Elektricität der partiellen Differentialgleichung: \[ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \varrho ^2}+ \frac{1}{\varrho} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial \varrho} = 0 \] genügen, wo \(\varrho\) die senkrechte Entfernung von der Axe bedeutet. Es lässt sich dann zeigen, dass die Berechnung der fraglichen Elektricitätsmengen von der Bestimmung einer Function \(\psi\) abhängt, welche durch die Gleichung: \[ \psi = \text{Const}. \] die Kraftlinien der angehäuften Elektricität repräsentirt und mit \(\varphi\) durch die Gleichungen verbunden ist: \[ \frac{\partial \psi}{\partial \varrho}=\varrho\cdot \frac{\partial \varphi}{\partial y}; \quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=-\varrho \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial \varrho} \cdot \] Denkt man sich ganz allgemein das um die Axe symmetrische Leitersystem durch zwei Ebenen senkrecht zur Axe geschnitten, so ist die Elektricitätsmenge \(e\), welche auf der Oberfläche zwischen den beiden ausgeschnittenen Kreisen liegt, durch die Gleichung zu berechnen: \[ 2c=\psi'-\psi'', \] wo \(\psi'\) und \(\psi''\) die Werthe von \(\psi\) für die beiden Kreise bedeuten.Es sei nun \(2a\) die Entfernung der Platten, \(b\) ihre Dicke, \(R\) ihr Radius; \(a\) und \(b\) sind als sehr klein anzusehen im Vergleich zu \(R\). Man setze endlich: \(R-\varrho=x\) und lege den Anfangspunkt des Coordinatensystems auf die Axe in gleiche Entfernung von beiden Scheiben. Dann lassen sich die Functionen \(\varphi\) und \(\psi\) direct berechnen für alle diejenigen Punkte, für welche \(x\) und \(y\) gross sind im Vergleich zu \(a\). Sind \(x\) und \(y\) von derselben Ordnung wie \(a\), so gehen die oben angeführten Bestimmungsgleichungen über in: \[ \frac{\partial \psi}{\partial x}= -R\cdot \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \quad \frac{\partial \psi}{\partial y}= R\cdot \frac{\partial \varphi}{\partial x} \cdot \] Wenn daher gesetzt wird: \[ w=\varphi+i\frac{\psi}{R}, \quad z=x+iy, \] so ist \(w\) eine Function von \(z\). Die Bestimmung dieser Function erfolgt mit Hilfe der Methode der conformen Abbildung von Schwarz (Borchardt J. LXX., s. F. d. M. II. p. 626, JFM 02.0626.02). Dieselbe wird vermittelt durch die neue complexe Variable \(t\), indem man setzt: \[ \frac{dz}{dt}= \frac{2a\sqrt{(\mu^2-t^2)(\lambda^2-t^2)}}{t}, \] wo: \[ \mu+\lambda =\sqrt{\frac{2}{\pi}\frac{(2a+b)}{b}}, \]\[ \mu-\lambda =\sqrt{\frac{2}{\pi}\frac b a} \cdot \] Ferner ist zu setzen: \[ w=1+\frac{2i}{\pi}\cdot \text{lg\,} t+i.C. \] Nach Bestimmung von \(\psi\) ist dann die gesuchte Elektricitätsmenge, welche die eine Condensatorplatte enthält: \[ \frac{R^2}{4a}+\frac{R}{2\pi} \left\{ \text{lg} \frac{4\pi(2a+b)R}{a^2.e}+ \frac{b}{2a} \text{lg\,}\frac{2a+b}{b} \right\}. \] Mit Vernachlässigung der Dicke \(b\) erhält man: \[ \frac{R^2}{4a}+\frac{R}{2\pi}\text{\,lg} \left(9,246\,\frac R a \right). \] In dem zweiten Fall, wo beide Platten das Potential +1 haben, sind die Elektricitätsmengen jeder Platte: \[ \frac{R}{\pi}. \] In dem zweiten Theil der Abhandlung wird in ähnlicher Weise die Theorie des Condensators mit dem Thomson’schen Schutzring behandelt. Der Ausdruck für die Elektricitätsmenge der Platten führt in diesem Fall auf Thetafunctionen. Doch lässt sich derselbe unter besonderen Annahmen erheblich vereinfachen. Reviewer: Oberbeck, Prof. (Halle a.S.) Cited in 3 ReviewsCited in 4 Documents JFM Section:Elfter Abschnitt. Mathematische Physik. Capitel 3. Elektricität und Magnetismus. Citations:JFM 02.0626.02 × Cite Format Result Cite Review PDF