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Penrose’s ideas on the 4-color-problem. (Die Ideen von Penrose zum 4-Farbenproblem.) (German) Zbl 0961.05028
Einleitung: Im Jahre 1971 veröffentlichte Roger Penrose in einem Tagungsband eine Arbeit mit dem Titel “Applications of negative-dimensional tensors” [Comb. Math. Appl., Proc. Conf. Math. Inst., Oxford 1969, 221-244 (1971; Zbl 0216.43502)]. Vielleicht trug dieser etwas kryptische Titel dazu bei, dass die Arbeit zunächst unbeachtet blieb – doch, wie bei Penrose nicht anders zu erwarten, verbargen sich dahinter einige ungewöhnliche und originelle Ideen zur Theorie ebener Graphen. Studiert man die Arbeit genau, so stellt man fest, dass es sich um das Abzählen gewisser Färbungen ebener Graphen handelt, und es wird schließlich klar, dass Penrose eigentlich das 4-Farbenproblem lösen wollte. Damals war es ja noch ein Problem, der 4-Farbensatz wurde erst 1976 bewiesen!
Penrose definiert in seiner Arbeit implizit ein Polynom für ebene 3-reguläre Graphen, heute Penrose-Polynom genannt, und leitet dann vier äquivalente Formulierungen zum 4-Farbensatz ab. Seine Ideen wurden in den 80er Jahren von mehreren Autoren aufgegriffen – vor allem der kürzlich verstorbene Francois Jaeger ist hier zu nennen – und in mehrere Richtungen erweitert. Dabei stellten sich Verbindungen nicht nur zum 4-Farbensatz heraus, sondern auch zu anderen berühmten Vermutungen der Graphentheorie, zu binären Codes, Hopfalgebren und Polynominvarianten in der Knotentheorie. Genau darüber will diese Arbeit berichten.

MSC:
05C15 Coloring of graphs and hypergraphs
05C10 Planar graphs; geometric and topological aspects of graph theory
05B35 Combinatorial aspects of matroids and geometric lattices
Keywords:
4-color-problem
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