On the irrationality of Cantor series. (English) Zbl 1049.11076

Hančl, Jaroslav; Tijdeman, Robert

J. Reine Angew. Math. 571, 145-158 (2004).

Bei \((a_n), (b_n) \in \mathbb{Z}^{\mathbb{N}}\) mit \(a_n>1\) für alle \(n\in\mathbb{N}\) sind Verff. an Kriterien für die Irrationalität von \(S:= \sum_{n\geq1} b_n/ (a_1\cdots a_n)\) interessiert. (Klar ist \(S \in \mathbb{Q}\), falls die Folge \((c_n)\) mit \(c_n:= b_n/(a_n-1)\) ab einem Index konstant ist; wir nennen dies den Trivialfall.) \(S\not\in \mathbb{Q}\) gilt z.B. dann, wenn alle \(b_n\in\mathbb{N}\) sind, \(b_{n+1}< (1+\varepsilon)b_n\) (bei festem \(\varepsilon\in ]0,1[\)) für alle großen \(n\) zutrifft und zusätzlich \(\liminf(b_n/a_n) = 0\). Dies Kriterium impliziert \(\sum_{n\geq1} p_n^k/2^{p_n} \not\in\mathbb{Q}\) für jedes \(k \in\mathbb{N}\), wo \(p_n\) die \(n\)-te Primzahl bedeutet; dies war selbst für \(k=1\) bisher offen (vgl. P. Erdős und R. L. Graham [Old and new problems and results in combinatorial number theory, Monogr. No. 28, Enseign. Math., Genève, S. 60–66 (1980; Zbl 0434.10001)]). Ein ähnliches Kriterium erhält man, wenn man die Positivität der \(b_n\) aufgibt und stattdessen \(\liminf(|b_n|/a_n)=0\), (*): \(b_n=o(a_{n-1}a_n)\) sowie \(a_n\nmid b_n\) für alle großen \(n\) verlangt. Dies ist eine Variante eines Ergebnisses von A. Oppenheim [Am. Math. Mon. 61, 235–241 (1954; Zbl 0055.04503)]. \(S\not\in\mathbb{Q}\) trifft – außer im Trivialfall – auch unter folgenden Zusatzbedingungen (i) oder (ii) zu. (i): \((c_n)\) ist nach unten beschränkt, es gilt (*) und zu jedem \(\varepsilon\in \mathbb{R}_+\) hat man \(b_{n+1}/a_{n+1} < b_n/a_n +\varepsilon\) für alle \(n>n_0( \varepsilon)\). (ii): \((a_n)\) wächst (nicht notwendig streng) monoton, es gilt \(b_n=o(a_n^2)\) und zu jedem \(\varepsilon\) hat man \(b_{n+1}-b_n < \varepsilon a_n\) ab einem \(n_1\).
Die zweite Alternative verschärft ein Resultat von P. Erdős und E. G. Straus [Pac. J. Math. 55, 85–92 (1973; Zbl 0279.10026)]. Auf monoton wachsende \((a_n)\) beziehen sich folgende beiden Ergebnisse. Das mit \(b_n=p_n\) gebildete \(S\) ist bei \(p_n=o(a_n^2)\) irrational (außer im Trivialfall). Ist auch \((b_n)\) monoton wachsend, gelten \(b_n=o(a_n^2)\) und \(a_{2n}b_{2n}=o(na_n^2)\) und gibt es zu jedem \(\varepsilon\in\mathbb{R}_+\) ein \(\delta\in ]0,1]\) und unendlich viele \(N\in\mathbb{N}\), so daß \(\text{ggT}(a_n-1,b_n)<\varepsilon b_n\) für mindestens \(\delta N\) Zahlen \(n\in\{N,\dots,2N-1\}\) gilt, so ist \(S\) irrational. Letzteres Kriterium impliziert \(\sum_{n\geq1}(p_n/n!)^k \not\in\mathbb{Q}\) für jedes \(k\in\mathbb{N}\), was bisher nur für \(k=1\) bekannt war, vgl. P. Erdős [Enseign. Math. (2) 4, 93–100 (1958; Zbl 0080.03305)].
Schließlich wird bei monoton wachsendem \((a_n)\) die Irrationalität der mit \(b_n=p_n\) bzw. \(b_n=n\) gebildeten Reihen \(S\) (außer im Trivialfall) bewiesen, wenn zusätzlich \(\log n =o(a_n)\) gilt bzw. \((a_n)\) unbeschränkt ist.

Reviewer: Peter Bundschuh (Köln)

MSC:

11J72

Irrationality; linear independence over a field

Citations:

Zbl 0434.10001; Zbl 0055.04503; Zbl 0279.10026; Zbl 0080.03305

References:

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[12]	Tijdeman, R. and Yuan Pingzhi, On the rationality of Cantor and Ahmes series, Indag. Math., N.S., 13 (2002), 407-418. · Zbl 1018.11037
[13]	Westzynthius E., Nr. 25 pp 1– (1931)