Supplement to the memoir on discontinuous functions. (Addition au mémoire sur les fonctions discontinues.) (French) JFM 11.0274.03

Darboux, G.

Ann. de l’Éc. N. (2) VIII, 195-202 (1879).

Der in der erwähnten Abhandlung (siehe F. d. M. VII. 1875. p. 245, JFM 07.0243.02) kurz gefasste Beweis des Satzes, dass die stetige Function \[ _n \sum_1^{\infty} \frac {\sin [(n+1)!x]}{n!} \] für keinen Werth von \(x\) einen endlichen Differentialquotienten besitze, wird hier ausführlich mitgetheilt. Ausgehend von gewissen Reihen \[ _n \sum_1^{\infty} \frac {f(a_nb_nx)}{a_n}, \] worin \(a_n,\; b_n\) numerische Functionen von \(n\) bezeichnen, gelangt Herr Darboux nicht blos zu obigen Beispiele einer stetigen Function ohne Differentialquotienten, sondern auch zu folgendem: \[ _n \sum_1^{\infty} \frac {\cos a_nx}{a_n}, \] wenn die positiven Zahlen \(a_n\) der Bedingung genügen \[ \lim_{n=+\infty} \frac {a_1+a_2+\dotsm +a_{n-1}}{a_n} =0. \]

Reviewer: Stolz, Prof. (Innsbruck)

MSC:

42A16

Fourier coefficients, Fourier series of functions with special properties, special Fourier series

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Non-differentiable Fourier series; lacunary Fourier series

Citations:

JFM 07.0243.02