Sur les courbes définies par les équations différentielles. (French) JFM 13.0591.02

Poincaré, H.

C. R. 93, 951-952 (1882).

(Siehe auch JFM 13.0591.01)
Sind \(x, y\) die Coordinaten eines Punktes in der Ebene, so wird die Relation zwischen ihnen \[ \frac{dx}{X} =\frac{dy}{Y}, \] wo \(X\) und \(Y\) Polynome in \(x, y\) bezeichnen, durch eine Schaar ebener Curven dargestellt. Diese Curven werden hier, zur Vermeidung unendlich ferner Punkte, central auf eine Kugel projicirt. Sie heissen Charakteristiken, und von einem Punkte an nach beiden Seiten gerechnet, Halbcharakteristiken. Wenn eine von beiden die algebraischen Cykel (d. i. geschlossene sphärische Curven) nur in endlicher Zahl von Punkten schneidet, so ist die Charakteristik, wofern sie keine Doppel- und Rückkehrpunkte hat, ein Cykel. Nach mehreren Definitionen und Anordnungen werden die Charakteristiken discutirt, und folgende Sätze aufgestellt:
„Jedes System von Charakteristiken lässt singuläre Punkte zu.“
„Ein unendlich kleiner Cykel, der in seinem Innern keinen singulären Punkt enthält, hat \(0\) zum Index, ein solcher, der einen enthält, \(\pm 1\).“
„Index ist die halbe Differenz der Anzahlen der Sprünge von \(\frac XY\) aus \(-\infty\) nach \(+\infty\) und aus \(+\infty \) nach \(-\infty\) bei Durchlaufung eines Cykels in positivem Sinne.“
„Die Anzahl der Berührungen eines algebraischen Cykels, der keine Eckpunkte noch Beerührungen höherer Ordnung mit einer Charakteristik hat, und der durch keinen singulären Punkt geht, ist immer endlich und grade.“
„Kann man zwischen zwei Punkten der Kugel einen Bogen ohne Berührung ziehen, so kann man auch zwischen ihnen einen algebraischen Bogen ohne Berührung ziehen.“
„Ist \(AB\) ein algebraischer Bogen ohne Berührung, und sind \(AA_1\) und \(BB_1\) Bogen von Charakteristiken, und \(AA_1\) und \(BB_1\) zwei algebraische Bogen, die erstere nur in \(A, B, A_1\) oder \(B_1\) von gleicher Parität.“
„Wird ein Charakteristikenbogen, der durch keinen singulären Punkt geht, von einem Curvenbogen subtendirt, so ist die Anzahl der Berührungen dieses Bogens ungrade.“
In der zweiten Arbeit deutet der Verfasser eine ähnliche Behandlung der allgemeinen Gleichung \(F \left( x,y, \frac{dy}{dx} \right) =0\) an, indem er \(x,y, \frac{dy}{dx}\) zu Functionen der drei Coordinaten eines Punktes macht. Er lässt dann obige Gleichung die Charakteristiken auf einer ausserdem angenommenen Fläche bestimmen.

Reviewer: Hoppe, Prof. (Berlin)

MSC:

34C05

Topological structure of integral curves, singular points, limit cycles of ordinary differential equations

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 3. Analytische Geometrie der Raumes. A. Allgemeine Theorie der Flächen und Raumcurven.

Citations:

JFM 13.0591.01