A contribution to the theory of cubic and quartic residues. (Bijdrage tot de theorie der derde-en vierde-machts resten.) (Dutch) JFM 14.0123.02

Stieltjes, T. J. jun.

Amst. Versl. en Meded. XVII, 338-417 (1882).

Die Arbeit behandelt die Theorie der cubischen und biquadratischen Reste und schliesst sich in dieser Hinsicht an die bekannte, indessen unvollendet gebliebene Abhandlung von Gauss: “Theoria residuorum biquadraticorum” an. Das allgemeine Reciprocitätsgesetz ist später von Eisenstein (Crelle J. Band 28) bewiesen. Hier werden dieselben Theorien auf eine andere Weise behandelt, die darauf beruht, dass die Primzahl, deren Charakter bestimmt werden soll, ersetzt wird durch ein congruentes Product von Factoren.
Der Charakter dieser Factoren wird durch Betrachtungen bestimmt, die mit denen, welche das oben genannte Werk von Gauss enthält, übereinstimmen; nur findet eine Erweiterung auf complexe Zahlen statt. Auf diese Weise wird der Charakter von \(1+i\) in Beziehung auf eine Primzahl von der Form \(a+bi\) bestimmt, ebenso werden die Zahlen mit einem Modulus von der Form \(4n+3\) behandelt. Dann werden alle Sätze bewiesen, welche von Gauss auf inductivem Wege gefunden und in Art. 28 der Th. res. biq. zusammengestellt sind. Der Beweis beruht auf der Theorie der complexen Zahlen, welche hier als Hülfsmittel gebraucht wird, da die Sätze selbst sich nur auf reelle Zahlen beziehen.

Reviewer: van Geer, Prof. (Leiden)

MSC:

11A15

Power residues, reciprocity

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Zahlentheorie. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

cubic residues; quartic residues