Series developments of holomorphic functions in an area bounded by circular arcs. (Développements en série d’une fonction holomorphe dans une aire limitée par des arcs de cercle.) (French) JFM 15.0324.01

Appell, P.

Klein Ann. XXI, 118-125 (1882).

Eine Fläche \(S\) sei von \(n\) Kreisbögen \(C_1,\dots,C_n\) begrenzt, deren convexe Seite dem Innern der Fläche zugekehrt ist und welche die Punkte \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) zu Mittelpunkten haben. Um eine in \(S\) holomorphe Function \(f(x)\) darzustellen, wird eine überall eindeutige Function \(\Psi(x)\) angenommen von folgenden Eigenschaften: Sie hat den Unendlichkeispunkt als einzigen wesentlich singulären Punkt, ausserdem nur Pole ersten Grades in unendlicher Anzahl und zwar in \(x=0, a_1, a_2,\dots,a_\nu,\dots(\lim a_\nu=\infty\) für \(\nu=\infty\) mit den resp. Residuen \(1,R_1,R_2,\dots,R_\nu,\dots;\) für jeden in \(S\) gelegenen Punkt \(x\) sollen ferner alle Punkte \(x+a_1,x+a_2,\dots,x+a_\nu,\dots\) ausserhalb \(S\) und ausserhalb der Kreise liegen, degen die Kreisbögen \(C_1,\dots,C_n\) angehören. Es gilt dann für \(f(x)\) die Darstellung \[ (1) \quad f(x)=\sum^{k=n}_{k=1} \sum^{\mu=\infty}_{\mu=0} A^{k}_{\mu} \Psi^{(\mu)} (\alpha_k-x),\quad(\Psi^{(\mu)}(u)=\frac{d^{\mu}\Psi(u)}{du^{\mu}}), \] wo \[ A^{k}_{\mu}=\frac{1}{2\pi i}\;\frac{1}{1.2.3\dots\mu} \int_{C_k}(z-\alpha_k)^{\mu}f(z)dz, \] das Integral über den Bogen \(C_k\) genommen. Es erhellt leicht, dass die Summe \(A^{1}_{0}+A^{2}_{0}+\cdots+A^{n}_{0} \) verschwindet. Was den Wert der Reihe auf der rechten Seite in (1) für Punkte \(x\) betrifft, die ausserhalb \(S\) sich befinden, so sind folgende Fälle zu unterscheiden : Liegen gleichzeitig alle Punkte \(x+a_1,x+a_2,\dots,x+a_\nu,\dots\) ausserhalb \(S\) und ausserhalb der Kreise, denen die Bogen \(C_k\) angehören, dann hat die Reihe den Wert Null; liegen die genannten Punkte sämtlich zwar noch ausserhalb der Kreise, aber einige derselben \(x+a_{\lambda_1},\dots,x+a_{\lambda_m}\) innerhalb \(S\), so ist der Wert der Reihe \[ R_{\lambda_1}f(x+a_1)+\cdots+R_{\lambda_m}f(x+a_{\lambda_m}); \] liegt endlich \(x\) selbst oder einer der Punkte \[ x+a_1, x+a_2,\dots x+a_\nu,\dots \] im Innern eines der genannten Kreise, so ist die Reihe divergent. Bedeutet \(S_\nu\) di Fläche, die der Punkt \(x-a_\nu\) beschreibt, während \(x\) die Fläche \(S\) beschreibt, so wird dieselbe wiederum von Kreisbögen begrenzt, die mit \(C^{\nu}_1,\dots,C^{\nu}_n \) bezeichnet sein mögen. Sind nun die Pole \(a_v\) so verteilt, dass keine der Flächen \(S,S_1,S_2,\dots,S_\nu,\dots\) einen Punkt mit einander oder mit den Kreisen gemein hat, denen die Bogen \[ C_k,C^{1}_{k},\dots,C^{\nu}_{k},\dots\qquad \qquad \qquad (k=1,2,\dots,n) \] angehören, so besteht für die Reihe in (1), die wir mit \(\varphi(x)\) bezeichnen, die merkwürdige Beziehung \[ \varphi(x-a_\nu)=R_\nu \varphi(x). \] Nachdem noch die speciellen Fälle betrachtet sind, in denen \(\psi(x)\) der Reihe nach gleich \[ \frac{1}{x},\;\frac{d\log \vartheta_1(x)}{dx},\;\frac{\omega}{\pi} \cot\frac{\pi x}{\omega} \] gesetzt wird, folgt zum Schluss die Ermittelung einer oberen Grenze für den Rest der Reihe \(\varphi(x)\).

Reviewer: Hamburger, Prof. (Berlin)

MSC:

30B99

Series expansions of functions of one complex variable

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Series expansions