Integration of equations in total differentials. (Intégration d’équations aux différentielles totales.) (French) JFM 16.0296.02

Sauvage

Resal J. (3) X, 387-407 (1884).

Mit Bezugnahme auf die Arbeit in den Ann. de l’Éc. Norm. 1882 (s. F. d. M. XIV. 1882. 243, JFM 14.0243.01), in welcher der Verfasser die allgemeinen Principien der Theorie der linearen Gleichungen mit totalen Differentialen entwickelt hat, wird hier das folgende System mit constanten Coefficienten \[ dy_i=(a_{i1}y_1+\cdots+a_{in}y_n)dx_1+\cdots+(l_{i1}+\cdots+l_{in}y_n)dx_p \qquad (i=1, 2, \dots, n) \] unter der Voraussetzung, dass die Integrabilitätsbedingungen identisch erfüllt sind, betrachtet. Bezeichnet man mit \(r_k\) eine Wurzel der Gleichung \[ \begin{vmatrix}\l\;& \;& \l\\ g_{11}-r & \dots & g_{1n} \\ \quad\cdot & \cdots & \quad\cdot\\ g_{n1} & \dots & g_{nn}-r \end{vmatrix}=0, \] wo \(g_{i1}y_1+\cdots+g_{in}y_n\) der Coefficient von \(dx_k\), so lassen die Gleichungen \[ A_1g_{i1}+\cdots+A_i(g_{ii}-r_k)+\cdots+A_ng_{in}=0\qquad (i=1, 2, \dots, n) \] mindestens eine Lösung für die Verhältnisse der \(A_1, \dots, A_n\) zu. Die Wurzeln der anderen charakteristischen Gleichungen sind dann bestimmt durch die Relationen \[ \frac{r_1}{A_1a_{i1}+\cdots+A_na_{in}}=\cdots=\frac{r_k}{A_1g_{i1}+\cdots+A_ng_{in}}=\cdots=\frac{r_p}{A_1l_{i1}+\cdots+A_nl_{in}}\cdot \] Für den Fall, dass die Wurzeln einer charakteristischen Gleichung sämtlich von einander verschieden sind und der Wurzel \(r_{ks}\) die Verhältnisse \( A_{1s}:A_{2s}:\cdots:A_{ns}\) entsprechen, erhält man ein Fundamentalsystem von \(n\) Lösungen in der Form \[ y_{is}=A_{is}e^{r_{1s}x_1+\cdots+r_{ps}+x_p}\qquad (i,s=1, 2, \dots, n) \] \(r_{1s},\dots,r_{ps}\) sind die einander correspondirenden Wurzeln der verschiedenen charakteristischen Gleichungen, die durch die obigen Relationen, in denen man \(A_i\) durch \(A_{is}\), zu ersetzen hat, verknüpft sind. Die für den Fall der gleichen Wurzeln erforderlichen Modificationen werden erörtert und die Gruppen der zu den vielfachen Wurzeln gehörigen Lösungen bestimmt.

Reviewer: Hamburger, Prof. (Berlin)

MSC:

34A25

Analytical theory of ordinary differential equations: series, transformations, transforms, operational calculus, etc.

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Capitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Keywords:

ordinary differential equation; total differential

Citations:

JFM 14.0243.01