Über die Gattung niedrigster Ordnung, unter welcher gegebene Gattungen algebraischer Grössen enthalten sind. (German) JFM 19.0067.02

Kneser, A.

Math. Ann. 30, 179-202 (1887).

Zuerst auf algebraischem, dann auf rein arithmetischem Wege werden einige Sätze über die Irreductibilität der Normen ganzer Functionen \(f(y, \xi)\) abgeleitet, in denen \(\xi\) die Wurzeln einer beliebigen irreductiblen Gleichung \(F(x)=0\) durchläuft; danach wird die Zerlegung ganzer Functionen in ihre irreductiblen Factoren nach Adjunction irrationaler Grössen gleichfalls vom arithmetischen Standpunkte aus behandelt, d. h. in der Form, dass die Zerlegung einer ganzen Function \(G(y, x)\) (mod. \(F(x)\)) in ihre irreductiblen Factoren betrachtet wird. Darauf geht Herr Kneser zur Hauptfrage seiner Arbeit über und beweist: “Ist in einem beliebigen Rationalitätsbereiche \(\operatorname{Re}\) die Grösse \(\xi_1\) Wurzel einer irreductiblen Gleichung \(m^{\mathrm ten}\) Grades, und nach Adjunction von \(\xi_1\) die Grösse \(\eta_1\) Wurzel einer irreductiblen Gleichung \(r^{\mathrm ten}\) Grades, so ist das mit der Unbestimmten \(u\) gebildete Binom \(u+\xi_1+\eta_1\) Wurzel einer im Bereich \(\operatorname{Re}\) irreductiblen Gleichung vom Grade \(m . r\)”. Mit Hülfe der so erlangten Resultate lässt sich dann der allgemeine Fall beliebig vieler Gattungen erledigen. “Sind irgend \(h\) Gattungen algebraischer Grössen, welche einem beliebigen Rationalitätsbereiche \(\operatorname{Re}\) entstammen, gegeben, und reducirt sich die Ordnung der \(\nu^{\mathrm ten}\) unter ihnen nach Adjunction der \((\nu-1)\) vorhergehenden auf \(r_\nu\), so sind die sämtlichen \(h\) Gattungen unter einer Gattung von der Ordnung \(r_1\dots r_h\) und unter keiner von geringerer Ordnung enthalten.”

Reviewer: Netto, Prof. (Giessen)

MSC:

14H05

Algebraic functions and function fields in algebraic geometry

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Algebra. Capitel 1. Gleichungen. (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische Gleichungen.)