On Hamilton’s numbers. (English) JFM 19.0080.02

Sylvester, J. J.; Hammond, James

Lond. Phil. Trans. (A) CLXXVIII, 285-312 (1887).

Die fraglichen Zahlen sind diejenigen, welche in Hamilton’s Untersuchung über die Gültigkeit von Jerrard’s Methode zur Transformation und Lösung von Gleichungen höheren Grades vorkommen. (Brit. Ass. Rep. for 1836). Es wird Bezug genommen auf Hrn. Sylvester’s Arbeit: On the Bring-Tschirnhausen transformation (Journ. für Math. C, s. die vorangehenden Referate (JFM 19.0079.02; JFM 19.0080.01)). Die Folge dieser Zahlen ist: \[ 2,3, 5,11, 47, 923, 409\;619, 83\;763\;206\;255,\dots \] Die vorliegende Abhandlung enthält sehr interessante Forschungen über diese Zahlen. Als Beispiel genüge der Hinweis auf Hrn. Hammond’s wunderbar schöne Formel zu ihrer Berechnung. Gebraucht man nämlich das Zeichen \(E_i\) für die \((i+1)^{\mathrm te}\) Hamilton’sche Zahl, nachdem sie um eins vergrössert ist, so dass also \[ E_0 =3,\quad E_1 = 4,\quad E_2 = 6,\dots, \] dann ist die Formel: \[ (1-t)^{E_0}+t(1-t)^{E_1}+t^2(1-t)^{E_2}+\cdots \equiv 1-2t; \] man setze die Potenzen von \(t\) auf beiden Seiten der Identität einander gleich, so erhält man die vorstehenden Werte \(E_0 = 3\), \(E_1= 4\), u. s. w. Bemerkenswert ist auch der Umstand, dass die linke Seite für \(t=\frac 12\) eine convergente Reihe ist; allein wir haben das paradoxe Ergebnis, dass die Summe einer Reihe von positiven Potenzen von \(\frac 12\) Null ist.

Reviewer: Caley, Prof. (Cambridge) (Lampe, Prof. (Berlin))

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Algebra. Capitel 1. Gleichungen. (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische Gleichungen.)

Citations:

JFM 19.0079.02; JFM 19.0080.01