Sur un point de la théorie des surfaces. (French) JFM 19.0758.01

Demartres, G.

Bull. Soc. Math. Fr. 15, 129-133 (1887).

Ist \(M\) ein beliebiger Punkt einer Fläche, \(h\) sein Abstand von einer festen Ebene, \(\vartheta\) der Neigungswinkel der Tangentialebene in \(M\) gegen jene Ebene, \(\varphi\) der Winkel, welchen die Spur der Tangentialebene in der festen Ebene mit irgend einer festen Geraden in dieser Ebene bildet, und lässt man den Punkt \(M\) in einer bestimmten Richtung zu einem Nachbarpunkt \(M'\) übergehen, so erhalten die betrachteten Grössen Incremente, und der Herr Verfasser nennt den Ausdruck \[ f=\frac{ dh }{ d \varphi \sin^2 \vartheta } \] die Flexion des Elementes \(MM'\), und beweist den folgenden Satz. Sind \(f\) und \(f'\) die zu zwei conjugirten Richtungen in \(M\) gehörigen, auf dieselbe feste Ebene bezogenen Flexionen, \(R\) und \(R_1\) die beiden Hauptkrümmungs-Radien in \(M\), so ist \(ff' + RR_1 = 0\).
Das Product der beiden zu conjugirten Richtungen gehörigen Flexionen ist somit unabhängig von der Wahl dieser Richtungen und von der Lage der festen Ebene. Fällt insbesondere \(MM'\) in die Richtung einer Asymptote des Dupin’schen Kegelschnittes in \(M\), so ist \(f= -\sqrt{RR'}\). Hierdurch wird man auf eine grosse Zahl bekannter Resultate geführt, namentlich bei Regelflächen. Siehe dazu JFM 19.0757.02.
In der zweiten Note werden nun hieran folgende weitere Betrachtungen geknüpft.
Die Flexion eines Elementes ändert sich nicht, wenn die Ebene, auf die sie bezogen ist, sich um ihren Durchschnitt mit der Tangentialebene in \(M\) dreht, oder wenn sie sich parallel mit sich selbst verschiebt.
Hierdurch kommt man dazu, die Flexion einer Tangentenrichtung \(D'\) in \(M\) in Bezug auf eine zweite \(D\) zu betrachten, welche mit (\(DD'\)) bezeichnet wird. Es ergiebt sich dann, dass \((DD') = - (D'D)\) ist. Ferner zeigt sich, dass, wenn \(DD'\) einen vorgeschriebenen Wert haben soll, \(D\) und \(D'\) zwei homographische Büschel beschreiben, welche die Asymptoten des Dupin’schen Kegelschnittes zu Doppelstrahlen haben. Endlich ergiebt sich der Satz:
Wenn die Richtungen \(D\) und \(D'\) auf einander senkrecht stehen, so ist der absolute Wert von (\(DD'\)) und (\(D'D\)) gleich der entsprechenden geodätischen Torsion, wie dieselbe von Herrn Bertrand in die Flächentheorie eingeführt ist.

Reviewer: August, Prof. (Berlin)

MSC:

53A05

Surfaces in Euclidean and related spaces

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 3. Analytische Geometrie des Raumes. A. Allgemeine Theorie der Flächen und Raumcurven.

Citations:

JFM 19.0757.02