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Intorno all’ integrale di Cauchy. (Italian) JFM 21.0278.03

Da das Cauchy’sche Integral \[ w (z) = \frac{1}{2 \pi i} \int \frac{w (z) dx}{x - z}, \] wo \(x\) den Umfang \(s\) eines Flächenstücks \(C\) zu durchlaufen hat, für jeden Punkt \(z\) ausserhalb \(C\) Null, für jeden Punkt auf dem Umfang ohne Bedeutung ist, so stellt sich der Verfasser die Aufgabe, den Wert von \(w(z)\) als Grenzwert dessen zu bestimmen, welcher einem innern \(z\) bei unendlicher Annäherung an einen Punkt \(x_0\) auf dem Umfang entspricht. Dargestellt wird der Grenzwert in der Form: \[ \lim w_i (z) = \lim \frac{1}{2 \pi i} \int \frac{\varphi(x)dx}{x - z} = \varphi (x_0) + \frac{1}{2 \pi i} \int \frac{\varphi(x) - \varphi (x_0)}{x - x_0} dx. \] Das letztere Integral verschwindet, wenn \(\varphi (x)\) eine monodrome, stetige und endliche Function ist. Es werden dann die Bedingungen ermittelt, welche der reelle und imaginäre Teil von \(\varphi (x)\) zu erfüllen haben, damit die längs \(s\) angenommenen Werte von \(\varphi (x)\) die gesuchte Function von \(z\) repräsentiren.

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