On Riemann surfaces with given branch points. (Ueber Riemann’sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten.) (German) JFM 23.0429.01

Hurwitz, A.

Math. Ann. XXXIX, 1-61 (1891).

Die Abhandlung behandelt die Aufgabe: die Gesamtheit der \(n\)-blättrigen Riemann’schen Flächen zu untersuchen, welche an \(w\) gegebenen Stellen in vorgeschriebener Weise verzweigt sind. Im I. Abschnitt wird zunächst die Anzahl der verschiedenen solchen Flächen bestimmt. Die Frage wird auf die andere zurückgeführt: man soll angeben, auf wie viele Weisen bei \(n\) Elementen eine gegebene Substitution \(S\) als ein Product von \(w\) Transpositionen dargestellt werden kann. Schliesslich wird die gesuchte Anzahl dargestellt durch einen Ausdruck der Form: \[ N=\sum c_kk^w\qquad [k=1,2,\dots,\tfrac 12\,n(n-1)]; \] in demselben bedeuten die \(c_k\) ausschliesslich von \(n\) abhängende, rationale Zahlen, die für \(n=2,3,\dots,6\) ausgerechnet mitgeteilt werden. Die \(N\) so erhaltenen Flächen vertauscht sich, wenn man die Verzweigungspunkte continuirlich so variiren lässt, dass jeder schliesslich eine Stelle einnimmt, an der auch anfangs ein solcher Punkt sich befand. Die Gruppe dieser Vertauschungen bezeichnet der Verfasser als Monodromiegruppe \(A\); durch die Forderung, dass jeder Verzweigungspunkt in seine eigene Anfangslage zurückkehre, wird aus ihr eine Untergruppe, die Monodromiegruppe \(B\), ausgeschieden. Mit beiden Gruppen beschäftigt sich der II. Abschnitt; sie sind beide im allgemeinen intransitiv, aber transitiv, wenn alle vorgeschriebenen Verzweigungspunkte einfach sind. Im III. Abschnitt wird die Frage behandelt, wie viele von den Flächen zu “reellen” algebraischen Gebilden gehören, wenn die vorgeschriebenen Verzweigungspunkte teils reell, teils paarweise conjugirt complex sind. Im IV. Abschnitt werden nach Thomae die drei- und vierwertigen algebraischen Functionen, deren Verzweigungspunkte gegeben sind, durch Thetafunctionen dargestellt. Der letzte Abschnitt endlich beschäftigt sich mit Flächen, welche, statt über der schlichten Zahlenebene, über einer andern Fläche mehrblättrig ausgebreitet sind, und schliesst mit der Bestimmung einer 60-wertigen unverzweigten algebraischen Function auf einer Fläche vom Geschlechte 2, deren Werte durch die Ikosaedersubstitutionen mit einander zusammenhängen.

Reviewer: Burkhardt, Prof. (Göttingen)

MSC:

30F10

Compact Riemann surfaces and uniformization

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Compact Riemann surfaces