On the Development of the Potential Function into Series. Awarded prize paper and dissertation. (Ueber die Reihenentwickelungen der Potentialtheorie. Gekrönte Preisschrift und Dissertation.) (German) JFM 23.0996.01

Bôcher, M.

Göttingen. Dieterich’sche Universitäts-Buchdruckerei (W. Fr. Kaestner) IV + 66 S. 4\(^\circ\) (1891).

Die vorliegende Schrift ist eine Bearbeitung der folgenden, von der philosophischen Facultät in Göttingen gestellten Preisaufgabe: “Man kann die Mehrzahl der in der Potentialtheorie auftretenden Reihentwickelungen und Integraldarstellungen unter einheitlichem Gesichtspunkte ableiten, indem man die sämtlichen bei dieser Darstellung in Betracht kommenden Orthogonalsysteme als Ausartungen des Systems confocaler Cykliden betrachtet und unter Zugrundelegung des letzteren zunächst für einen von sechs confocalen Cykliden begrenzten Körper geeignete Reihenentwickelungen aufstellt. Die Facultät wünscht, das der hiermit bezeichnete Gedanke ins Einzelne durchgeführt, auch von der ganzen Theorie eine zusammenhängende Darstellung gegeben werde.”
Die Grundlage der Darstellung, der eine kurze Uebersicht über die wichtigsten die “Randwertaufgabe der Potentialtheorie” (so wird das fragliche Problem kurz bezeichnet) betreffenden Arbeiten vorausgeschickt ist, bildet die Theorie der Cykliden. Dieser Theorie ist demgemäss das erste der drei Capitel der Arbeit gewidmet. Der Verfasser beschränkt sich hier im wesentlichen auf die Zusammenstellung bekannter Resultate, ohne auf Beweise oder Erläuterungen über die Gestalt der Flächen einzugehen. Nachdem die Cykliden als diejenigen Flächen definirt sind, welche sich durch eine Gleichung zweiten Grades zwischen pentasphärischen Coordinaten darstellen lassen, ergiebt sich eine Einteilung derselben in 26 Arten aus der Weierstrass’schen Theorie der Elementarteiler. Es folgt eine Betrachtung der Realitätsverhältnisse, sowie der Ausartungen derselben; die reellen Systeme confocaler Cykliden werden aufgezählt. Das Capitel schliesst mit einer Betrachtung der cyklidischen Coordinaten und ihrer Ausartungen.
Das zweite Capitel enthält allgemeine Erläuterungen über die Lamé’sche Gleichung und deren Auftreten in Potentialtheorie auf Grund der vorher besprochenen krummlinigen Coordinatensysteme. An Stelle der von Lamé selbst in die Analysis eingeführten Differentialgleichung, die drei singuläre Punkte besitzt, wird eine allgemeinere betrachtet; und es wird mit dem Namen “Lamé’sche Gleichung” eine überall reguläre homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit rationalen Coefficienten bezeichnet, deren im Endlichen gelegene singuläre Punkte \(e_1, e_2,\dots , e_n\) sämtlich die Exponenten 0 und \(\frac 12\) besitzen, und die im Unendlichen nur einen uneigentlich singulären Punkt aufweist. Jede Lösung einer Laméschen Gleichungen wird eine Lamésche Function genannt. Aus dieser Definition ergiebt sich die Form der Differentialgleichung, die mit der von Herrn Klein untersuchten (cf. F. d. M. XXII. 1890. 516, JFM 22.0516.02) übereinstimmt. Es wird darauf hingewiesen, dass man nach Herrn Klein’s Vorgang die Singularität im Unendlichen durch Einführung homogener Variabeln fortschaffen kann. Doch ist das für das Folgende unnötig, da man es bei den Anwendungen stets so einrichten kann, dass unendlich grosse Werte der unabhängigen Variabeln nicht in Betracht kommen. Der Zusammenhang der obigen Definition mit der von Heine wird erläutert, auf Specialfälle und Ausartungen der allgemeinen Laméschen Function kurz hingewiesen.
Für die Anwendungen auf die zu behandelnde Potentialaufgabe kommt nur der Specielfall \(n=5\) in Betracht; denn auf diesen führt die Zerlegung der auf cyklidische Coordinaten transformirten Gleichung \(\varDelta V=0\). Nach den Untersuchungen des Referenten (J. für Math. LXXXII) und des Herrn Darboux (C. R. LXXXIII) [s. auch F. d. M. VIII. 1876. 623, 624; JFM 08.0623.01; JFM 08.0623.02; JFM 08.0624.01] ist eine Particularlösung jener Gleichung \[ V=N^{\frac 12}\psi(\mu, \nu, \varrho ,) = N^{\frac 12}E_1(\mu )E_2(\nu )E_3(\varrho ), \] wo \(N\) eine vollständig bekannte Function der cyklischen Coordinaten \(\mu , \nu , \varrho ,\) die \(E\) Lamé’sche Functionen sind. Eine solche Particularlösung wird als Potentialfunction, die Function \(\psi = E_1E_2E_3\) als Lamé’sches Product bezeichnet. \(E_1, E_2, E_3\) sind Particularlösungen einer und derselben Lamé’schen Gleichung \(n=5,\) welche die Punkte \(e_1, \dots , e_5\) als einfache singuläre Punkte besitzt, und die ausserdem zwei accessorische, keiner Beschränkung unterworfene Parameter enthält. Es fragt sich nun, welche besonderen Fälle in der allgemeinen Lösung enthalten sind. Die verschiedenen neben der allgemeinen Cyklidenschar in Betracht kommenden Flächenscharen entstehen aus ersterer dadurch, dass zwei oder mehrere der singulären Punkte \(e_1, \dots, e_5\) zusammenfallen. Zu untersuchen ist also, welche Modificationen besonderer Art dadurch entstehen. Zunächst ergiebt sich, dass, wenn \(e_1\) eine mehrfache Wurzel ist, welche sich auf drei verschiedene Elementarteiler verteilt, die zugehörige Lamé’sche Function \(E(\lambda)\) in das Product einer Function \(n=4\) und eines Factors \((\lambda -e_1)\) in das Product einer Function \(n=4\) und eines Factors \((\lambda -e_1)^{-\frac 14}\) zerfällt. Die Lamé’sche Gleichung \(n=4\) aber lässt sich durch trigonometrische Functionen lösen. Neben diesem Specialfall existiren sechs Arten Lamé’scher Functionen: 1) allgemeine Lamé’sche Functionen \(n=5\), 2) Functionen der dreiaxigen Flächen zweiten Grades, 3) Kugelfunctionen eines Arguments, deren Index aber unbeschränkt ist, 4) Functionen der zweiaxigen Cylinder zweiten Grades, 5) Functionen des Rotationscylinders (Bessel’sche Functionen), 6) Functionen des parabolischen Cylinders. Uebrigens kann dieselbe Art Lamé’scher Functionen bei sehr verschiedenen Flächensystemen auftreten. So kommen die Functionen der dreiaxigen Flächen zweiten Grades nicht nur bei dem allgemeinen System der confocalen Flächen zweiten Grades vor, sondern auch bei confocalen Kegeln zweiten Grades und bei allen Rotationscykliden. Ebenso treten die Kugelfunctionen auch beim Rotationskegel (Kegelfunctionen) und beim Kreisring (Ringfunctionen) auf etc. Diese Thatsachen, die, einzeln genommen, schon alle bekannt waren, finden durch die Darlegungen des Verfassers eine höchst anschauliche gemeinsame Erklärung.
Das dritte Capitel ist der Erledigung der Randwertaufgabe gewidmet. Die Lösung derselben beruht auf dem sogenannten Oscillationstheorem, das für Kugelfunctionen von Thomson und Tait gefunden, von Herrn Klein aber (Math. Ann. XVIII, F. d. M. XIII. 1881. 406, JFM 13.0406.01) zuerst klar formulirt und auf die Lamé’schen Functionen ausgedehnt ist. Eine Untersuchung der Lamé’schen Curve \(y=E(x)\) und ihrer Oscillationen in den einzelnen Segmenten der \(x\)-Axe führt zu folgendem Satze (Oscillationstheorem): “Die accessorischen Parameter \(a\) und \(b\) einer Lamé’schen Gleichung \(n=5\) können stets und nur auf eine Weise so bestimmt werden, dass eine erste Particularlösung existirt, welche in einem ersten beliebigen Segmente \(m_1m_2\) eines Intervalls der reellen \(x\)-Axe genau \(m\) Halboscillationen ausführt, und dass gleichzeitig eine andere Particularlösung existirt, welche in einem beliebigen Segmente \(n_1n_2\) eines andern Intervalls genau \(n\) Halboscillationen ausführt.” Die Anwendung dieses Theorems ist folgende: Das allgemeine Cyklidensechsflach wird durch ein Schema charakterisirt, welches aus drei Segmenten \(m_1,m_2,\;n_1n_2,\;r_1r_2\) besteht, die bezw. in den Intervallen \(\mu , \nu , \varrho \) der reellen \(\lambda \)-Axe liegen, aber diese Intervalle oder Teile derselben beliebig oft überdecken können. Nun kann man drei Particularlösungen \(E_1(\lambda ),E_2(\lambda ),E_3(\lambda )\) der Lamé’schen Gleichung so auswählen, dass sie in den Punkten \(m_1, n_1, r_1\) der \(\lambda\)-Axe verschwindet; dann aber kann man mittels des Oscillationstheorems die accessorischen Parameter so bestimmen, dass die Zweige \(E_1\) resp. \(E_2\) in den Segmenten \(m_1m_2\) resp. \(n_1n_2\) genau \(m\) resp. \(n\) Halboscillationen ausführen. Bei dieser Bestimmung verschwindet das Product \(E_1(\mu )E_2(\nu )E_3(\varrho )\) auf den fünf Seitenflächen \(\mu =m_1,\; \mu =m_2;\;\nu =n_1,\;\nu =n_2;\;\varrho =r_1\) des Sechsflachs. Indem man nun den Oscillationszahlen \(m, n\) der Reihe nach alle ganzzahligen positiven Werte beilegt, erhält man die sämtlichen Lamé’schen Producte, welche auf den fünf genannten Seitenflächen verschwinden. Addirt man alle, nachdem man sie mit willkürlichen Constanten multiplicirt hat, so bleibt noch die Aufgabe zu lösen, diese Constanten so zu bestimmen, dass die Doppelsumme auf der Fläche \(\varrho =r_2\) eine gegebene Function von \(\mu , \nu\) ist. Die Bedeutung dieses Verfahrens liegt darin, dass man aus allen möglichen Potentialen \(N^{\frac 12}E_1(\mu )E_2(\nu )E_3(\varrho ),\) deren Zahl \(\infty ^5\) ist, \(\infty ^2,\) welche eine discrete oder eventuell eine continuirliche Reihenfolge bilden, derart auswählen kann, dass die Doppelsumme, ev. das Doppelintegral, welche man aus diesen \(\infty ^2\) Producten nach Hinzufügung geeigneter Coefficienten zusammensetzen kann, die Randwertaufgabe für einen durchaus rechtwinkligen Körper löst, welcher von irgend sechs Flächen des Coordinatensystems begrenzt ist.
Die Bestimmung der willkürlichen Constanten ist stets möglich. Doch fehlt für die wirkliche Anwendung noch Folgendes: 1) fehlt noch eine übersichtliche und brauchbare Darstellung der Fundamentallösungen der Lamé’schen Gleichung; 2) bleibt noch die Aufgabe zu lösen, die accessorischen Parameter \(a\) und \(b\) der Lamé’schen Function aus den jeweils vorgeschriebenen Oscillationseigenschaften wirklich zu berechnen; 3) ist noch zu untersuchen, unter welchen Bedingungen die erhaltene Reihe convergirt. Immerhin ist die Aufgabe formal gelöst.
Zum Schluss bespricht der Verfasser ziemlich kurz, wie man durch die Ausartungen des Cyklidensechsflachs aus der allgemeinen Lösung die Lösung für die meisten Körper erhält, bei denen bis jetzt die Potentialaufgabe durch Reihenentwickelung erledigt ist. Wenn das Oscillationstheorem versagt, muss man seine Zuflucht zu unendlich grossen Zahlen von Oscillationen nehmen, wodurch man auf Integraldarstellungen gelangt.

Reviewer: Wangerin, Prof. (Halle a. Saale)

MSC:

31-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to potential theory
30-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functions of a complex variable

JFM Section:

Zehnter Abschnitt. Mechanik. Capitel 5. Potentialtheorie.

Citations:

JFM 22.0516.02; JFM 08.0623.01; JFM 08.0623.02; JFM 08.0624.01; JFM 13.0406.01