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The elements of number theory. (Die Elemente der Zahlentheorie.) (German) JFM 24.0160.01

Leipzig: B. G. Teubner. xii, 264 S. (1892).
Es ist als ein sehr zeitgemässes und dankenswertes Unternehmen zu bezeichnen, welches der Verf. mit der vorliegenden Schrift eröffnet, nämlich das “einer Gesamtdarstellung des heutigen Standes der Zahlentheorie”.
Rühmlichst bekannt ist ja des Verfassers Monographie: “Lehre von der Kreisteilung;”; in ähnlicher Weise beabsichtigt er, von den verschiedenen Gebieten der Zahlenthoorie ein übersichtliches Bild zu entwerfen, ohne etwa eine absolute Vollständigkeit im Stoffe anzustreben.
Als Grundlage des Ganzen soll die hier zu besprechende Einführung in die Elemente der Zahlentheorie dienen; man darf keineswegs sagen, dass etwa dieser Teil dem Verf. die geringsten Schwierigkeiten bereitet habe: im Gegenteil, wo bereits eine Reihe, zum Teil vorzüglicher Lehrbücher für die Elemente existirt, hatte eine Darstellung, die eigenartig und fesselnd sein wollte, ohne doch an das Verständnis des Lesers zu grosse Anforderungen zu stellen, einen schweren Stand.
Wir glauben aber von vorn herein (ohne etwa mit allen Einzelnheiten der Ausführung einverstanden zu sein) behaupten zu dürfen, dass der Verf. seine Aufgabe in dem bezeichneten Sinne sehr gut gelöst hat. Allerdings setzt er Leser voraus, die eine Geistesbildung besitzen, welche vor frühzeitiger Einführung abstracter aber weitreichender Begriffe nicht zurückschreckt; indessen ist gerade dies Streben nach einer möglichst breiten logischen Grundlage auch den übrigen mathematischen Disciplinen zur Zeit eigentümlich und sicher auch berechtigt, falls nicht die als Gegenwirkung dienende Durchdringung mit dem Concreten darüber vernachlässigt wird.
Ein solcher allgemeiner Begriff ist vor allem der einer “Gruppe” von Zahlen (etwa von algebraischen Zahlen) oder überhaupt von Elementen, die wie Zahlen nach bestimmten Rechnungsregeln verknüpft werden sollen, wenn nur für diese Elemente die Multiplication in bestimmter Weise definirt ist. Solche Elemente sind z. B. die Restklassen (mod.\(n\)).
Eine Gruppe einer (endlichen) Reihe von Elementen \(a_1,a_2,\dots,a_n\) ist dann dadurch charakterisirt, dass auch jedes Product \(a_ia_k\) (\(i\) gleich oder ungleich \(k\)) der Gruppe angohört.
Dieser Begriff der Gruppe liegt implicite bereits dem anschaulichen, von Poinsot herrührenden Beweise des Euklidischen Fundamentalsatzes (der eindeutigen Zerlegung einer Zahl in Primfactoren) zu Grunde; man ist dadurch in der Lage, den Euklidischen Algorithmus zur Aufsuchung des grössten gemeinschaftlichen Teilers zweier Zahlen umgehen zu können.
Die elementare Lehre von den Congruenzen ersten Grades erwächst nun ganz aus dem Begriff der Gruppe. Die schwierigeren Fragen, so z. B., für welche Moduln primitive Wurzeln vorhanden sind, werden mit Hülfe eines wichtigen Satzes von Kronecker überwunden, wonach für jede Gruppe, bei deren Multiplicationsart auch noch das commutative Gesetz befolgt wird, alle Elemente, und zwar jedes nur einmal, in der Gestalt \(\alpha^{m_1}_1\alpha^{m_2}_2\dots\alpha^{m_\omega}_\omega\) darstellbar sind, wo die Exponenten ganze positive Zahlen sind, die noch innerhalb gewisser Grenzen variiren.
Der von den quadratischen Resten handelnde Abschnitt zeichnet sich vor allem aus durch einen übersichtlichen Rückblick auf die Erfindung und Begründung des Reciprocitätsgesetzes (mit dem Nachweise, dass die erste Aufstellung des Gesetzes Euler gebührt).
Die vielen, bisher für das Gesetz erbrachten Beweise werden in vier Kategorien eingeteilt. Die erste derselben wird durch den ersten, von Dirichlet vereinfachten Beweis von Gauss repräsentirt; die zweite Art stützt sich auf die Lehre von der Zusammensetzung der quadratischen Formen; die dritte Kategorie beruht auf der Kreisteilung, während die vierte das sogenannte Gaussische Lemma zum Ausgangspunkte nimmt und weiterhin die Gaussische Charakteristik möglichst direct zu bestimmen sucht.
Man findet bei dem Verf. unter andern die zur letzten Kategorie gehörigen, schönen Beweise von Kronecker und Schering (den letzteren für das verallgemeinerte Reciprocitätsgesetz).
In der Lehre von den quadratischen Formen – der Verf. beschränkt sich übrigens der Anschaulichkeit halber auf die eigentlich primitiven Formen – wird der principielle Standpunkt durchgeführt, die der Algebra angehörige Theorie der Transformation zu vermeiden und alles auf der Darstellung einer Zahl durch eine quadratische Form aufzubauen. Freilich hat dieser Standpunkt, so wie er hier vertreten wird, das Missliche, dass das rechnerische Element zu stark in den Vordergrund gerückt wird.
Der möglichst direct entwickelte Begriff der Hauptform führt auf eine gefällige Art zu den einfachsten Sätzen über die Composition der Formen. Als interessante Anwendung wird der zweite Kummer’sche Beweis des Reciprocitätsgesetzes vorgeführt.
Ref. kann nur den Wunsch ausdrücken, dass dem Verf. die Zeit und Kraft bleiben möge, um sein grosses Werk in dem Sinne dieses ersten Bandes bis zu Ende zu führen.
Weitere Rezensionen: New York M. S. Bull. 3, 215-222, Darboux Bull. (2) 17, 18-31.

MSC:

11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11Axx Elementary number theory
11E12 Quadratic forms over global rings and fields
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