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Sur certains systèmes d’équations aux derivées partielles généralisant les équations de la théorie des fonctions d’une variable complexe. (French) JFM 24.0331.03

Siehe JFM 24.0331.02. Die Abhandlung giebt eine Verallgemeinerung der Theorie der Differentialgleichungssysteme der Functionen einer complexen Variable. Sind \(P\), \(Q\) und \(P_1\), \(Q_1\) Lösungen der Gleichungen: \[ \frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial y}\,,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{\partial Q}{\partial x}\,, \] so genügen \(P_1\) und \(Q_1\), als Functionen von \(P\) und \(Q\) betrachtet, den Gleichungen von derselben Form: \[ \frac{\partial P_1}{\partial P}=\frac{\partial Q_1}{\partial Q}\,,\quad \frac{\partial P_1}{\partial Q}=-\frac{\partial Q_1}{\partial P}\,. \] Hierdurch wird Verf. auf das Problem geführt, ein System von \(m\) Gleichungen, welche lediglich die partiellen Ableitungen erster Ordnung der \(n\) Functionen \((n\leq m)\) \(P_1,\dots,P_n\) enthalten, nämlich \[ f_1\left(\frac{\partial P_1}{\partial x_1}\,,\cdots,\frac{\partial P}{\partial x_n}\,,\cdots,\frac{\partial P_n}{\partial x_n}\right)=0\quad (i=1,2,\dots,m) \] derart zu finden, dass, wenn man ein zweites Lösungssystem \(Q_1,\dots,Q_n\) wählt, die Functionen \(P_1,\dots,P_n\), als Functionen von \(Q_1,\dots,Q_n\) betrachtet, den nämlichen Gleichungen: \[ f_i\left(\frac{\partial P_1}{\partial Q_1}\,,\dots,\frac{\partial P_n}{\partial Q_n}\right)=0 \] genügen. Die völlige Lösung dieses Problems mit Hülfe der Lie’schen Gruppentheorie hat der Verf. in der zweiten Abhandlung durchgeführt, das Resultat aber schon C. R. CXII. 1399-1403 angegeben, worüber F. d. M. XXIII. 1891. 411 (siehe JFM 23.0411.01) referirt worden ist. Dieses Verfahren lässt sich leicht erweitern für den Fall, dass nicht nur Ableitungen erster, sondern auch höherer Ordnung in den Gleichungen vorkommen. Für Ableitungen zweiter Ordnung wird der Weg zur Aufstellung der Gleichungssysteme vollständig angegeben. Alsdann wendet sich Verfasser zur speciellen Betrachtung der Gleichungen erster Ordnung mit zwei und drei Variabeln. Im ersten Fall wird man (ausser dem System der Functionen einer complexen Variable) allein zu dem System: \[ \begin{aligned} & \frac{\partial Q}{\partial x}+\lambda\;\frac{\partial P}{\partial x}=\lambda\left(\frac{\partial P}{\partial x}-\lambda\;\frac{\partial P}{\partial y}\right)^k,\\ & \frac{\partial Q}{\partial y}+\lambda\;\frac{\partial P}{\partial y}=\;\;\left(\frac{\partial P}{\partial x}-\lambda\;\frac{\partial P}{\partial y}\right)^k,\end{aligned} \] geführt, wo \(\lambda\) und \(k\) zwei Constanten bedeuten.
Im zweiten Falle existiren zahlreiche Systeme, die im allgemeinen wenig Interesse darbieten; beschränkt man sich aber auf den Fall, dass die Anzahl der Gleichungen 3 sei, so wird man allein auf zwei Systeme geführt, welche der Verf. ableitet.

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