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Ueber gleitende und rollende Bewegung. (German) JFM 24.0893.01

Nur die beiden extremem Fälle bei der Bewegung eines Körpers an der Oberfläche eines zweiten werden betrachtet, das Gleiten und das Rollen; ausgeschlossen bleibt der allgemeine Fall der Vereinigung beider Bewegungsarten. Die Arbeit stützt sich auf die allgemeinen Betrachtungen über gleitende und rollende Bewegung, welche Hr. C. Neumann in seinen “Grundzügen der analytischen Mechanik” (F. d. M. XIX. 1887. 872, JFM 19.0872.02) veröffentlicht hat. Die Methode dieser Untersuchung besteht darin,dass man zur Discussion der Berechnung die Lagrange’schen Differentialgleichungen zweiter Form unter Benutzung von fünf Variabeln verwendet. Nachdem die bezüglichen Sätze und Formeln in §2 zusammengestellt sind, folgen in Abschnitt I die allgemeinen Betrachtungen über gleitende und rollende Bewegung. Die lebendige Kraft wird nach den Vorschriften des Hrn. C. Neumann in geometrischer Weise abgeleitet. Die Abhandlung der dynamischen Differentialgleichungen in §4 aus den Lagrange’schen Gleichungen zweiter Form für die gleitende Bewegung bietet keine Schwierigkeiten. Mehr Arbeit verursacht der Fall der rollenden Bewegung, bei welchem Bedingungsgleichungen in Form von linearen Differentialgleichungen auftreten, und für den der Verf. die Rehnung ausführlich entwickelt, weil dieselbe in dieser Form den meisten Lehrbüchern fehlt. Im Abschnitt II werden die entwickelten Formeln auf den Fall angewandt, dass beide Körper Kugeln sind. Für den Fall der rollenden Bewegung (§5) wird dabei der eine Körper als ruhend gedacht. Bei der Discussion der gleitenden Bewegung (§5) wird ein anderes System von Variabeln eingeführt als das sonst benutzte, weil sich dann das Problem fast ohne Rechnung lösen lässt. In beiden Fällen wird das Problem zunächst unter der Voraussetzung behandelt, dass zwischen den Teilchen der Kugeln gewisse anziehende Kräfte, die dem Newton’schen Gesetze gehorchen, thätig sind. Sodann wird an zweiter Stelle die Bewegung einer Kugel, die sich unter dem Einflusse der Schwerkraft auf der inneren Oberfläche einer ruhenden Hohlkugel bewegt, näher untersucht. Hierbei ergiebt sich, dass die Bewegung der rollenden Bewegung der gleitenden Kugel zu der eines gewissen Pendels in enge Beziehungen tritt. Im III. Abschnitte wird ein anderer Specialfall behandelt, die Bewegung einer Kreisscheibe auf einer Horizontalebene unter Einwirkung der Schwerkraft. Die erforderlichen Formeln werden direct von neuem abgeleitet. Zunächst wird wieder auf geometrischem Wege die legendige Kraft festgestellt, und hieran reiht sich die Aufstellung der Differentialgleichungen (§8). In §9 wird die rollende, in §10 die gleitende Bewegung der Kreischeibe näher untersucht. In beiden Fällen ergiebt sich die Bewegung als periodisch; im letzteren reducirt sich das Problem auf Quadraturen. Von der einschlägigen Litteratur führt die Einleitung, der wir in der Darstellung gefolgt sind, ausser der schon citirten Schrift von C. Neumann an: Funcke, Zur Theorie des Rollens, Diss. Göttingen (1869), siehe JFM 02.0521.01; Amthor, Ueber die Bewegung eines Körpers auf einer krummen Fläche, Diss. Leipzig (1868); Piper, Ueber die Bewegugn eines Körpers, dessen Oberfläche eine im Raum feste Curve berührt, Jena Diss. (Dessau, 1879); Routh, Elementary treatise on the dynamics of a system of rigid bodies, \(4^{\text{th}}\) ed. (1883); Richter, Ueber die Bewegung eines Körpers auf einer Horizontalebene, Diss. Leipzig (1887, siehe JFM 19.0975.02). Hierzu treten vereinzelte Citate im Texte.

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References:

[1] Grundzüge der analytischen Mechanik, insbesondere der Mechanik starrer Körper (Abdruck aus den Berichten der math.-phys. Classe der königl. sächs. Gesellschaft der Wissenschaften 1887).
[2] Übrigens werden wir bei den einzelnen Problemen die einschlägigen älteren Arbeiten, soweit solche überhaupt vorhanden und uns bekannt geworden sind, stets namhaft machen
[3] Zur Theorie des Rollens (Diss. Göttingen 1869).
[4] Über die Bewegung eines Körpers auf einer krummen Fläche (Diss. Leipzig, Teubner 1868).
[5] Über die Bewegung eines Körpers, dessen Oberfläche eine im Raum feste Curve berührt (Diss. Dessau 1879).
[6] Elementary Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies (4. Ed. 1883), pag. 327.
[7] Grundzüge der analytischen Mechanik. Zweiter Artikel, § 16.
[8] Carl Neumann, die unendlichkleinen Bewegungen eines starren Körpers etc., in den Math. Annalen, Bd. II, S. 388.
[9] Er findet sich schon bei Routh, Elementary Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies (4. Ed. 1883), pag. 329.
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