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Report on some computations of Mr. Bertelsen concerning prime numbers. (Rapport sur quelques calculs entrepris par M. Bertelsen et concernant les nombres premiers.) (French) JFM 25.0260.01

Wir besitzen Tafeln für die kleinsten Factoren jeder Zahl der neun ersten Millionen; von Burckhardt, Hrn. Glaisher und Dase (vgl. F. d. M. XV. 1883. 138, JFM 15.0137.05). Es war bekannt, dass sich in denselben eine relativ geringe Anzahl von Fehlern findet, besonders seit Hr. Meissel eine Methode zur genauen Bestimmung der Primzahlmenge innerhalb gegebener Grenzen aufgestellt hatte (Math. Ann. II. 636-642, vgl. F. d. M. II. 1869/70. 87, JFM 02.0087.01). Nach dieser Methode, deren Grundzüge übrigens in vorliegender Schrift recapitulirt werden, hat nun Hr. Bertelsen seit 1891 umständliche Rechnungen durchgeführt. Durch eine geeignete Abgrenzung der Intervalle, je nachdem die Anzahl der in den Tafeln angegebenen Primzahlen mit der so berechneten übereinstimmte, ist eine genaue Localisirung der in den Tafeln vorhandenen Fehler gelungen. Daneben aber bestimmte Hr. Bertelsen mit Hülfe einer interessanten neuen Umbildung der Methode des Hrn. Meissel, wie oft sich irgend eine bestimmte Zahl in einem gegebenen Intervall als kleinster Teiler finden muss; und es wird mit Recht hier darauf aufmerksam gemacht, dass bei jeder neuen Anlegung von derartigen umfangreichen Factorentafeln eine entsprechende Verification geboten sein wird. — Das Ergebnis lautet: \[ \begin{matrix} \r&\quad\r&\quad\r&\quad\r&\quad\r&\quad\r&\quad\r&\quad\r&\quad\r&\quad\r\\ \text{Million:}& 1.& 2.& 3.& 4.& 5.& 6.& 7.& 8.& 9.\\ \text{Fehleranzahl:}& 1& 23& 15& 1& 2& 0& 0& 40& 59.\end{matrix} \] Abgesehen von der ersten Million (der Fehler hier ist noch von Dase gefunden worden), enthalten also die Burckhardt’schen Tafeln ziemlich viele falsche Angaben. Die 4., 5., 6. Million von Glaisher sind beinahe fehlerfrei; ebenso die von Dase herrührende 7.; während die 8. und 9., welche nach Dase’s Tod von fremder Hand beendet wurden, wieder eine grössere Zahl von Irrtümern aufweisen. Hr. Bertelsen hat u. a. überraschende systematische Fehler constatirt, dass z.B. in der 9. Million alle Multipla von 2617 als Primzahlen angegeben sind. Es ist anzunehmen, dass nunmehr alle vorhandenen Fehler in der hier gegebenen Liste zusammengestellt sind; Irrtümer, welche die Anzahl der Primzahlen tangiren würden, sind nicht mehr zu vermuten; es läge nur noch die Möglichkeit vor, dass einmal ein kleinster Factor einer verkehrten Zahl in demselben Intervall zugeschrieben wäre; aber auch Versehen dieser Art hat Hr. Bertelsen in seiner Liste vermerkt. Eine zweite Tabelle giebt die berechneten Werte von \(\theta(m)\), d. h. der Anzahl der Primzahlen, kleiner als \(m\). Diese Zahlen werden mit den Näherungsformeln von Glaisher und Riemann verglichen. Doch ist die letztere in der von Hrn. Gram gegebenen Form benutzt: \[ P(m) = \frac{lm}{1!1.s_2} + \frac{(lm)^2}{2!2.s_3} + \frac{(lm)^3}{3!3.s_4} +\cdots\qquad(s_i = \sum n^{-i}), \] wo \(P(m)\) dem continuirlichen Teil der Function \(\theta(m)\) entspricht. (Vgl. noch F. d. M. XVI. 1884.146-147, JFM 16.0146.03).

MSC:

11N05 Distribution of primes
11Y05 Factorization
11Y11 Primality
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References:

[1] J. Ch. Burckhardt:Table des diviseurs pour tous les nombres des Ier, 2e et 3e million. Paris 1817. (1814–1817).
[2] James Glaisher:Factor Table for the fourth, fifth, sixth Million. London 1879, 1880, 1883. · JFM 11.0123.02
[3] Zacharias Dase:Factoren-Tafeln für alle Zahlen der siebenten, achten, neunten Million. Hamburg 1862, 1863, 1865.
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