Untersuchungen über die reellen Nullstellen der Integrale linearer Differentialgleichungen. (German) JFM 25.0522.01

Kneser, A.

Math. Ann. XLII, 409-435 (1893).

Es handelt sich in dieser Arbeit um die Frage, ob die Integrale einer linearen Differentialgleichung “oscillatorisch” sind, d.h. für unbegrenzt wachsende positive Werte des Arguments unendlich oft verschwinden können.
1. Sind in der Differentialgleichung \(2^{\text{ter}}\) Ordnung \[ y'' + Py' + Qy = 0 \] \(P\), \(Q\), \(P'\) für grosse Werte von \(x\) endliche und stetige Functionen, so ist jedes Integral \(y\), welches samt seinen ersten beiden Ableitungen für grosse Werte von \(x\) endlich und stetig ist, oscillatorisch, wenn \(\lim\limits_{x=+\infty}((Q-\frac12P'+\frac14P^2)x^2)>\frac14\), dagegen nicht oscillatorisch, wenn dieser Ausdruck \(<\frac14\) oder \(=\frac14\), im letzteren Falle aber für grosse \(x\) die Ungleichung \[ (Q - \frac12P' - \frac14P^2) < \frac1{2x^2} \] besteht.
2. Ist in der binomischen Differentialgleichung \[ y^{(n)} + yf(x) = 0 \] \(f(x)\) für grosse Werte von \(x\) endlich und stetig, und ist \[ \lim_{(x=+\infty)} x^\sigma f(x) > 0\qquad(n\geqq2\sigma > 0), \] so ist bei geraden Werten von \(n\) jedes Integral, das samt seinen ersten \(n\) Ableitungen für grosse Werte von \(x\) endlich und stetig ist, “oscillatorisch”. Bei ungeraden Werten von \(n\) bestehen für jedes nicht oscillatorische Integral die Gleichungen \[ \lim_{x=+\infty} y = \lim_{x=+\infty} y' =\cdots \lim_{x=+\infty} y^{(n)} = 0. \] Die Resultate werden auch auf die allgemeinere Gleichung von der Form \[ \frac d{dx}\left[g_{n-1}(x)\frac d{dx}\left\{g_{n-2}(x)\frac d{dx}\left( \cdots\frac d{dx}\left(g_1(x)\right)\cdots\right)\right\}\right] + yf(x) = 0 \] ausgedehnt.

Reviewer: Hamburger, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Capitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen.