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Study of the properties of entire functions and in particular of a function considered by Riemann. (Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d’une fonction considérée par Riemann.) (French) JFM 25.0698.03

Die vorliegende Abhandlung ist die weitere Ausführung einer Arbeit, die von der Akademie der Wissenschaften zu Paris mit dem grossen mathematischen Preise gekrönt worden ist. Dem Umstande, dass der Verfasser nur eine beschränkte Zeit zur Verfügung hatte, ist es wohl zuzuschreiben, dass die Abfassung der Abhandlung dem Verständnisse manche Schwierigkeiten bereitet. So muss beispielsweise der Beweis des Hauptsatzes im ersten Teile der Arbeit anders angeordnet werden, um bindende Kraft zu erhalten. Diese Ausstellung betrifft indessen nur die äussere Form der Arbeit; inhaltlich darf dieselbe wohl als eine der bedeutendsten functionentheoretischen Arbeiten der letzten Jahre bezeichnet werden.
Der Verfasser beginnt den ersten Teil seiner Arbeit mit dem Beweise des folgenden Hülfssatzes: Ist \(F(x)=\sum\limits_0^\infty a_mx^m\) eine ganze transcendente Function, so lässt sich die positive, stetige und wachsende Function \(\varphi(m)\) so bestimmen, dass \(|\root m\of{a_m}|\leqq\frac1{\varphi(m)}\) ist, und dass, wie auch die reelle Constante \(k\) angenommen werde, \(\log\varphi(m)+\frac km\) von einem gewissen Werte des Arguments \(m\) ab beständig wächst. Ueberdies darf man \(\varphi(m)\) als differentiirbar voraussetzen. Hieran schliesst sich nun der Hauptsatz des ersten Teiles: Ist \(\psi(x)\) die inverse Function von \(\varphi(x)\), so wächst \(|F(x)|\) weniger rasch als \(x^\varepsilon e^{\smallint\psi(x)\frac{dx}x}\), wo \(\varepsilon\) eine positive, beliebig klein gewählte Constante bezeichnet.
Dieser Satz gestattet, wie man sieht, aus den Coefficienten der Reihenentwickelung von \(F(x)\) auf die Art des Anwachsens dieser Function zu schliessen. Wenn beispielsweise \(|a_m|\leqq\frac1{(m!)^a}\) ist, so kann man \(\varphi(m)=\left(\frac mH\right)^a\) wählen, wo \(H\) eine Constante bezeichnet, und man erhält dann \(|F(x)|<e^{Hx^{\frac1H}}\), eine Ungleichung, die der Verfasser auch auf einem anderen Wege wiederfindet. Der Verfasser zeigt sodann, wie man umgekehrt aus der Art des Anwachsens von \(|F(x)|\) auf die Grössenordnung der Coefficienten \(a_m\) schliessen kann. Wir übergehen die betreffenden Sätze, weil sie im weiteren Verlauf der Untersuchung nicht verwendet werden. Dagegen müssen wir einen merkwürdigen Satz hervorheben, den der Verfasser auf eine äusserst sinnreiche Art beweist. Ist nämlich \(F(x)\) eine ganze Function, deren reeller Bestandteil für grosse Werte von \(|x|\) kleiner als \(|x|^\lambda\) ist, so reducirt sich \(F(x)\) notwendig auf ein Polynom höchstens vom Grade \(\lambda\). Hierbei ist der reelle Bestandteil von \(F(x)\) selbst, nicht sein absoluter Betrag gemeint, und unter “grossen Werten” von \(|x|\) sind diejenigen zu verstehen, die eine bestimmte, nicht näher zu bezeichnende Grenze überschreiten. Aus der Verbindung dieses Satzes mit einem früheren geht unmittelbar hervor, dass die Entwickelungscoefficienten \(a_m\) von \(e^{G(x)}\), wo \(G(x)\) eine ganze Function bezeichnet, nicht rascher abnehmen können als \(\frac1{(m!)^a}\), es sei denn, dass \(G(x)\) ein Polynom höchstens vom Grade \(\frac1{\alpha}\) ist. Auch folgt aus demselben Satze, wenigstens unter speciellen Voraussetzungen, das bekannte Picard’sche Theorem, nach welchem eine ganze Function höchstens zwei Werte nicht annehmen kann.
Im zweiten Teile der Arbeit handelt es sich zunächst darum, die Verteilung der Nullstellen einer ganzen Function \(F(x)\) aus der Beschaffenheit der Entwickelungscoefficienten \(a_m\) dieser Function abzuleiten. Es geschieht dies auf Grund des folgenden bemerkenswerten Satzes. Die Moduln der Nullstellen seien, der Grösse nach geordnet, \(\varrho_1, \varrho_2, \varrho_3, \dots\); ferner sei \(p\) eine positive ganze Zahl und \(\Delta_m\) die Determinante \[ \Delta_m = |a_{p+1+i-k}|\qquad(i, k = 0, 1, 2, \dots, m+p-1), \] wobei allgemein \(a_r=0\) zu setzen ist, wenn \(r\) negativ ist. Dann hat man \[ \frac1{\varrho_1\varrho_2\dots\varrho_{p+1}} = \frac1{|a_0|}\limsup_{m=\infty} \root m\of{|\Delta_m|}. \] Unter \(\limsup\limits_{m=\infty}\root m\of{|\Delta_m|}\) ist hier der grösste unter den Häufungswerten der Zahlenmenge \(\root m\of{|\Delta_m|}\) \((m=1,2,3,\dots)\) zu verstehen. Aus diesem Satze folgt nun, falls \(|\root m\of{a_m}|\leqq\frac1{\varphi(m)}\) ist, dass die Ungleichung \(\varrho_p\geqq\varphi(p)(1-\varepsilon_p)\) besteht, wo \(\varepsilon_p\) eine Grösse bezeichnet, die mit wachsendem \(p\) unendlich klein wird. Die absoluten Beträge der Nullstellen von \(F(x)\) wachsen also rascher als \(1/\root m\of{|a_m|}\). Macht man nun die Annahme, dass \(\varphi(m)=m^{\frac1{\lambda}}\) ist, so ergiebt sich aus dem letzten Satze die Convergenz der Reihe \(\sum\frac1{\varrho_p^{g+1}}\), wo \(g+1\) die zunächst über \(\lambda\) liegende ganze Zahl bezeichnet. Man kann demnach bei der Darstellung von \(F(x)\) durch ein unendliches Product die Weierstasss’schen Convergenzfactoren so wählen, dass ihre Logarithmen Polynome \(g^{\text{ten}}\) Grades sind, und man findet so \[ F(x) = e^{Qx}\cdot \prod\left(1 - \frac x{x_p}\right) e^{Q_g\left(\frac x{x_p}\right)}, \] wo \(Q(x)\) eine ganze Function bezeichnet. Mit Hülfe der Sätze des ersten Teiles ergiebt sich dann weiter, dass \(Q(x)\) ein Polynom höchstens vom Grade \(g\) ist. Aus alle dem folgt nun der Satz: Wenn \(a_m\) von der Ordnung \(\frac1{(m!)^{\frac1{\lambda}}}\) ist, wo \(\lambda\) keine ganze Zahl ist, so ist die Function \(\sum a_mx^m\) vom Geschlecht \(g\), falls \(g+1\) die zunächst über \(\lambda\) liegende ganze Zahl bezeichnet. Ist \(\lambda\) eine ganze Zahl, so ist die Function entweder vom Geschlechte \(\lambda\) oder vom Geschlechte \(\lambda-1\).
Dieser Satz ist die Umkehrung eines von Herrn Poincaré aufgestellten Theorems.
Der Verfasser wendet schliesslich im dritten Teile der Arbeit die Ergebnisse seiner Untersuchungen auf die Function \[ \zeta(s) = \sum_1^\infty \frac1{n^s} \] an, welche in Riemann’s Abhandlung “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” eine wichtige Rolle spielt. Die Function \(\zeta(s)\) lässt sich zurückführen auf eine transcendente ganze Function \(\xi(x)\), und es ergiebt sich, durch die Betrachtung der Entwickelungscoefficienten von \(\xi(x)\), dass diese Function, aufgefasst als Function von \(x^2\), vom Geschlechte Null ist. Diese Thatsache hat schon Riemann angegeben und in seiner Abhandlung benutzt, ohne indessen einen ausreichenden Beweis für dieselbe beizubringen.

MSC:

30D99 Entire and meromorphic functions of one complex variable, and related topics
11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
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