On functions of lines. (Sulle funzioni di linee.) (Italian) JFM 26.0454.01

Arzelà, C.

Bologna Mem. (5) V. 225-244 (1895).

Den vorliegenden Untersuchungen liegt ein System \(G\) von Functionen \(u(x)\) der reellen Veränderlichen \(x\) zu Grunde, die auf ein bestimmtes Intervall \(a\leqq x\leqq b\) eingeschränkt ist. Die Functionen \(u(x)\), welche die Elemente des Systemes \(G\) bilden, sollen eindeutig und stetig sein und nur Werte annehmen, die zwischen zwei festen Grenzen \(l\) und \(L\) liegen. Von Wichtigkeit ist nun die folgende Begriffsbestimmung: Die das System \(G\) constituirenden Functionen \(u(x)\) heissen “gleichartig stetig” (egualmente continue), wenn zu jeder positiven, beliebig kleinen Zahl \(\sigma\) die positive Zahl \(\delta\) so bestimmt worden kann, dass in jedem Intervalle, dessen Länge kleiner als \(\delta\) ist, die Schwankung jeder beliebigen, dem Systeme \(G\) angehörenden Function \(u(x)\) kleiner als \(\sigma\) ist. Zunächst zeigt der Verfasser, dass die gleichartige Stetigkeit die Bedingung dafür ist, dass aus dem Systeme \(G\) eine Reihe von Functionen \(u_1(x)\), \(u_2(x)\), ... herausgehoben werden kann, welche mit unendlich wachsendem Index gegen eine bestimmte Function \(v(x)\) convergiren, und zwar gleichmässig für alle dem Intervalle \(a\dots b\) angehörigen Werte von \(x\). Jede solche Function \(v(x)\) heisst eine “Grenzfunction” des Systemes \(G\). Wenn jede Grenzfunction von \(G\) zu \(G\) gehört, so heisst das System \(G\) “abgeschlossen”. In Bezug auf die gleichartige Stetigkeit ist noch zu erwähnen, dass dieselbe für ein System \(G\) sicher stattfindet, wenn für jedes Element \(u(x)\) von \(G\) und je zwei dem Intervalle angehörende Werte \(x_1\), \(x_2\) der Differenzenquotient \(\frac{u(x_1)-u(x_2)}{x_1-x_2}\) zwischen zwei festen endlichen Grenzen liegt. Wenn nach irgend einem Gesetze jedem Elemente \(u(x)\) eines Systemes \(G\) ein bestimmter Zahlenwert zugeordnet ist, so ist dadurch eine “Function der Elemente von \(G\)” bestimmt. Dieser Begriff deckt sich mit dem der “Function von Linien”, da das System der Functionen \(u(x)\) geometrisch durch ein System von Linien dargestellt wird. Wenn \(G\) abgeschlossen ist, so heisst eine Function der Elemente von \(G\) stetig, falls der einer Grenzfunction \(\lim u_n(x)=v(x)\) zugeordnete Wert die Grenze der den Functionen \(u_1(x)\), \(u_2(x)\), ... zugeordneten Werte ist. Für die untere und obere Grenze der Werte einer Function der Elemente von \(G\) gilt ein Satz, welcher einem bekannten Weierstrass’schen Satze analog ist. Insbesondere hat man den Satz: Eine stetige Function der Elemente des abgeschlossenen Systemes \(G\) besitzt einen grössten und einen kleinsten Wert.
Die allgemeinen Sätze wendet der Verfasser schliesslich noch auf folgendes System \(\Gamma\) an: Eine Function \(u(x)\) gehört dem Systeme \(\Gamma\) stets und nur dann an, wenn sie für \(x=a\) und \(x=b\) die festen Werte \(A\) resp. \(B\) annimmt, wenn sie ferner mit ihrer ersten und zweiten Ableitung stetig im Intervalle \(a\dots b\) ist, wenn endlich ihre zweite Ableitung \(u''(x)\) mindestens eine Nullstelle im Intervalle \(a\dots b\) besitzt und der Differenzenquotient von \(u''(x)\) beständig zwischen zwei festen endlichen Zahlen liegt. Der Verfasser beweist, dass dieses System \(\Gamma\) abgeschlossen ist und die ihm angehörigen Functionen gleichartig stetig sind. Der Maximalwert des absoluten Betrages von \(u''(x)\) und der Wert des Integrales \(\int\limits_a^b[u'(x)]^2dx\) sind Beispiele von stetigen Functionen der Elemente von \(\Gamma\).

Reviewer: Hurwitz, Prof. (Zürich)

MSC:

26A99

Functions of one variable

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Arzela’s Theorem. Compact sets of continuous functions