Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe. (German) JFM 27.0091.04

Frobenius, G.

Berl. Ber. 1896, 689-703 (1896).

Sind \(A, B, S\) drei Substitutionen aus der Gruppe aller \(n!\) Substitutionen von \(n\) Grössen und besteht die Gleichung \(S^{-1}AS=B\), so heissen die Substitutionen \(A\), \(B\) einander ähnlich; und alle ähnlichen Substitutionen werden in eine “Klasse” vereint. Besteht \(A\) aus \(e\) Cyklen von \(f_1, f_2, \dots, f_e\) Elementen, wobei \(f_1 + f_2 + \dots + f_e = n\) ist, so gilt das Gleiche von allen Substitutionen der Klasse von \(A\); und es ist die Klasse zugleich durch Angabe der Invarianten \(f_1, f_2, \dots, f_e\) eindeutig definirt.
Ist \(\varphi (x)\) eine ganze ganzzahlige Function \(n^{\text{ten}}\) Grades nicht verschwindender Discriminante \(d\), so werden \(\varphi (x)=0\) \(n\) conjugirte algebraische Zahlkörper festgelegt; andererseits hat \(\varphi (x)=0\) im Sinne der Gleichungstheorie eine bestimmte Gruppe. Es werden in der vorliegenden Arbeit Beziehungen aufgestellt, welche zwischen der Zerfällung der rationalen, in \(d\) nicht aufgehenden Primzahlen \(p\) in Primideale eines jener \(n\) Körper einerseits und den Klassen von Substitutionen in der Gruppe von \(\varphi (x)=0\) andrerseits bestehen.
Zerfällt \(\varphi (t)\) modulo \(p\) in das Product von \(e\) Primfunctionen derGrade \(f_1, f_2, \dots, f_e\): (1) \(\varphi (t) \equiv P_1 (t). P_2 (t) \dots P_e (t) \bmod p\), so gehört die Primzahl \(p\) zur Klasse der Invarianten \(f_1, f_2, \dots, f_e\). Diese sei in einer festgewählten Anordnung der Substitutionenklassen die \(\lambda^{\text{te}}\). Die (in \(d\) nicht aufgehenden) rationalen Primzahlen, welche in diesem Sinne der \(\lambda^{\text{ten}}\) Klasse angehören, mögen allgemein \(p_\lambda\) heissen.
Der Verf. leitet nun im Anschluss an eine von Kronecker aufgestellte Relation (vergl. F. d. M. 12, 65, 1880, JFM 12.0065.02) für die Primzahlen \(p_\lambda\) die Gleichung ab: \(\sum p_\lambda^{-1-w} = D_{\lambda} \log (1/w) + {\mathfrak P} (w)\), wo \({\mathfrak P} (w)\) eine für hinreichend klein gewählte \(w\) sicher convergente Reihe ist und \(D_\lambda\) eine nur von der Klasse abhängige Constante bedeutet. Letztere liefert ein Mass für die Dichtigkeit der Primzahlen der \(\lambda^{\text{ten}}\) und wird geradezu als “Dichtigkeit” der Primzahlen \(p_\lambda\) bezeichnet. Der vom Verf. aufgestellte Hauptsatz ist alsdann, dass die Dichtigkeit gleich ist der Anzahl derjenigen Substitutionen der Gruppe von \(\varphi (x) = 0\), welche aus \(e\) Cyklen von \(f_1, f_2, \dots, f_e\) Elementen bestehen, dividirt durch die Ordnung dieser Gruppe. Dieser Satz überträgt sich in die Terminologie der Idealtheorie vermöge des bekannten Zusammenhangs, in dem die Congruenz (1) zur Factorenzerlegung des Hauptideals \(op\) steht.
Der Verf. giebt weiter den genaueren von Dedekond bewiesenen Satz an, dass, wenn eine rationale Primzahl \(p\) in \(e\) Primideale der Grade \(f_1, f_2, \dots, f_e\) zerfällt, dann auch stets Substitutionen der \(\lambda^{\text{ten}}\) Klasse in der zum Körper, bezw. zur Gleichung \(\varphi (x) = 0\) gehörenden Gruppe vorkommen.
Weiterhin wird für die Definition der Substitutionenklassen nicht wie oben die Gesamtgruppe aller \(n!\) Substitutionen, sondern eine in ihr enthaltene Untergruppe zu Grunde gelegt, so dass nur durch die Substitutionen der letzteren transformirt wird. Hier wird dann für die einzelne Klasse ein Begriff der Dichtigkeit definirt, und diese letztere wird mit der Dichtigkeit der “zur Klasse gehörenden Primzahlen” im Vergleich gestellt.

Reviewer: Fricke, Prof. (Braunschweig)

MSC:

11R45

Density theorems

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Algebra. Kapitel 3. Elimination und Substitution, Determinanten, symmetrische Functionen.

Citations:

JFM 12.0065.02