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Ueber die Primfactoren der Gruppendeterminante. (German) JFM 27.0094.01

“Die Theorie der Charaktere einer Gruppe, deren Grundlagen Verf. in seiner letzten Arbeit (vergl. oben S. 92 (JFM 27.0092.01)) entwickelt hat, erfordert zu ihrer weiteren Ausgestaltung die Untersuchung einer Determinante, deren Grad der Ordnung der Gruppe gleich ist. Nach dem Vorgange von Dedekind, der zuerst ihre Bedeutung für die Theorie der Gruppen erkannt hat, nennt er sie die der Gruppe entsprechende “Gruppendeterminante”. Die \(h\) Elemente \(A, B, C, \dots\) der Gruppe \({\mathfrak H}\) benutzt er als Indices für \(h\) unabhängige Variabeln \(x_A, x_B, x_C, \dots\) Bei der Wahl dieser Bezeichnung wird die Festsetzung getroffen, dass, wenn \(L=MN\) ist, auch \(x_L = x_{MN}\) sein soll. Aus diesen \(h\) Grössen, die durch einen Index von einander unterschieden sind, werden \(h^2\) Grössen gebildet, die mit zwei Indices versehen sind, indem \(x_{P,Q} = x_{PQ^{-1}}\) gesetzt wird. Sind \(G_1, G_2, \dots, G_h\) die \(h\) Elemente von \({\mathfrak H}\) in irgend einer bestimmten Reihenfolge, so wird die Matrix \((x_{P,Q}) = (x_{PQ^{-1}})\) betrachtet, deren \(h\) Zeilen man erhält, indem man für \(P\) der Reihe nach die \(h\) Elemente \(G_1, G_2, \dots, G_h\) setzt, und deren \(h\) Spalten man erhält, indem man für \(Q\) dieselben Elemente in derselben Reihenfolge setzt. Diese Matrix besitzt gewisse, durch die Constitution der Gruppe \({\mathfrak H}\) bedingte Symmetrieeigenschaften. In jeder Zeile finden sich die \(h\) Variabeln sämtlich und ebenso in jeder Spalte. Die verschiedenen Zeilen (Spalten) unterscheiden sich von einander nur durch die Anordnung der Variabeln. Die Gruppendeterminante, die der Gruppe \({\mathfrak H}\) entspricht, ist die Determinante dieser Matrix \({\varTheta} = | x_{P,Q}| = | x_{PQ^{-1}}|\). Addirt man zu den Elementen der ersten Zeile die aller anderen Zeilen, so werden jene Elemente alle gleich \(\sum x_R = \xi\). Daher ist die ganze Function \(h^{\text{ten}}\) Grades \({\varTheta}\) der \(h\) Variabeln \(x_A, x_B, x_C, \dots\) durch die lineare Function \(\xi\) teilbar. Mithin zerfällt \({\varTheta}\), von dem trivialen Falle \(h=1\) abgesehen, stets in Factoren niedrigeren Grades. Die Anzahl \(k\) der verschiedenen irreducibeln Factoren oder Primfactoren von \({\varTheta}\) ist gleich der Anzahl der Klassen conjugirter Elemente, worin die Elemente von \({\mathfrak H}\) zerfallen. Ist \(f\) der Grad eines solchen Primfactors \(\varPhi\), so ist \(\varTheta\) durch die \(f ^{\text{te}}\) und durch keine höhere Potenz von \(\varPhi\) teilbar. Der Grad \(f\) ist ein Divisor der Ordnung \(h\). Durch eine lineare Substitution lässt sich \(\varPhi\) in eine Function von \(f^2\), aber nicht von weniger Variabeln transformiren, und wenn man jeden Primfactor von \(\varTheta = \Pi\varPhi^f\) in dieser Weise transformirt, so sind die \(\sum f^2 =h\) neuen Variabeln alle unter einander unabhängig. Setzt man immer diejenigen Variabeln \(x_R\) einander gleich, deren Indices Elemente derselben Klasse sind, so wird \(\varPhi = \xi^f\) die \(f ^{\text{te}}\) Potenz einer linearen Function \(\xi\) und \(k\) unabhängigen Variabeln, und die \(k\) linearen Functionen, die aus den \(k\), die aus den \(k\) Primfactoren von \(\varTheta\) entspringen, sind linear unabhängig. Aus den Coefficienten der linearen Function \(\xi\) ergiebt sich ein Charakter \(\chi\) der Gruppe \({\mathfrak H}\), und aus seinen \(k\) Werten \(\chi (R)\) lassen sich die Coefficienten der Primfunction \(\varPhi\) sämtlich berechnen. Die Theorie der allgemeinen Gruppendeterminante, worin die \(h\) Grössen \(x_R\) unbeschränkt veränderlich sind, wird so auf die Theorie der speciellen Gruppendeterminante zurückgeführt, worin die Veränderlichkeit dieser Grössen durch die Bedingungen \(x_{BA} = x_{AB}\) beschränkt ist. Die Berechnung dieser Determinante \(h^{\text{ten}}\) Grades aber \(\varTheta = \Pi\xi^{f^2}\) lässt sich auf die einer Determinante \(k^{\text{ten}}\) Grades \(\left| \sum_\gamma {1\over h_a} h_{\alpha \beta \gamma} x_\gamma \right| = \Pi \xi\) reduciren, worin der lineare Factor \(\xi\), der in \(\varTheta\) zur Potenz \(f^2\) erhoben vorkommt, nur einfach enthalten ist. (Wegen der Definition der Zahlen \(h_{\alpha \beta \gamma}\) vergl. S. 94). Ganz analoge Eigenschaften, wie ein solcher Primfactor \(\varPhi\) einer Gruppendeterminante, hat die ganze Function \(2^{\varrho \text{ten}}\) Grades von \(2^{2 \varrho}\) Variabeln, die Verf. in seiner Arbeit “Ueber Thetafunctionen mehrerer Variabeln” (J. für Math. 96) untersucht hat, auf die er dort aber nicht durch die Betrachtung der Gruppe der zwischen den Thetafunctionen bestehenden Relationen, sondern durch das für diese Functionen geltende Additionstheorem geführt worden ist. Sonst ist die Gruppendeterminante bisher nur für den Fall commutativer Gruppen untersucht worden, wo ihre Primfactoren sämtlich linear sind. Für einige besonders einfache, nicht commutative Gruppen hat Dedekind im Jahre 1886 die Determinante \(\varTheta\) durch Rechnung in Primfactoren zerfällt, und seine interessanten Ergebnisse haben den Verf. veranlasst, die Zerlegung der Gruppendeterminante in Primfactoren allgemein für eine beliebig gegebene Gruppe zu untersuchen.”

MSC:

20-XX Group theory and generalizations
15A15 Determinants, permanents, traces, other special matrix functions

Citations:

JFM 27.0092.01
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