Volterra, V. On the inversion of definite integrals. (Sull’inversione degli integrali definiti.) (Italian) JFM 27.0309.03 Torino Atti 31, 311-323 (1896); 31, 400-408 (1896); 31, 557-567 (1896); 31, 693-708 (1896). Die Grundlage für die durch ihre Allgemeinheit bemerkenswerten Untersuchungen des Verfassers (siehe auch JFM 27.0209.01; JFM 27.0209.02) über die Umkehrung bestimmter Integrale bildet der folgende Satz:Die Variabeln \(x\), \(y\) seien auf das Intervall \(\alpha\dots \beta\) eingeschränkt, \(S(x,y)\) sei eine endliche und stetige Function derselben. Man setze nun \[ S_0(x,y)= S(x,y), \quad S_i(x,y)= \int_y^x S_{i-1}(x,\xi) S_0(\xi,y)d\xi \] \((i=1,2,3,\dots);\) dann sind auch die Functionen \(S_1(x,y), S_2(x,y),\dots\) endlich und stetig, und die Summe \(-\sum_0^\infty S_i(x,y)\) convergirt im Bereiche der Variabeln \(x\), \(y\) gleichmässig und stellt also ebenfalls eine endliche und stetige Function vor. Diese werde, da sie durch einen bestimmten Process aus \(S(x,y)\) hergeleitet ist, mit \(\varPhi[S(x,y)]\) bezeichnet, wo \(\varPhi\) als Operationssymbol zu betrachten ist. Dann gelten die Gleichungen \[ (1)\qquad \varPhi[\varPhi[S(x,y)]]= S(x,y), \quad \int_y^x S(x,\xi).T(\xi,y)d\xi =S(x,y) +T(x,y), \] wobei zur Abkürzung \(\varPhi[S(x,y)] =T(x,y)\) gesetzt ist. Für die Functionen \(S_i(x,y)\) gilt noch die Thatsache, dass für jeden zwischen 0 und \(i+1\) liegenden Index \(j\) \[ S_i(x,y)= \int_y^x S_{i-j}(x,\xi)S_{j-1}(\xi,y)d\xi \] ist. – Aus der zweiten Gleichung (1) folgt nun leicht:Bezeichnet \(\varphi(y)\) eine endliche und stetige Function, so giebt es eine einzige ebenfalls endliche und stetige Function \(f(y),\) welche der Gleichung (A) \(\varphi(y)= f(y)+ \int_\alpha^y f(x)S(x,y)dx\) \((\beta>y>\alpha)\) genügt, und zwar ist dieselbe durch die Formel \[ (\text{A}')\qquad f(y)= \varphi(y)+ \int_\alpha^y\varphi(x) T(x,y)dx \] gegeben. Ist nun die Aufgabe vorgelegt, das Integral \[ (2)\qquad \theta (y)- \theta(\alpha)= \int_\alpha^y \psi(x) H(x,y)dx \] umzukehren, d. h. \(\psi(x)\) aus der vorstehenden Gleichung zu bestimmen, während \(\theta(y)\), \(H(x,y)\) gegeben sind, so ergiebt die Differentiation nach \(y\) und nachherige Division mit \(H(y,y)=h(y)\): \[ \frac {\theta'(y)}{h(y)}= \psi(y) +\int_\alpha^y\psi(x) \left\{ \frac {1}{h(y)}\;\frac {\partial H(x,y)}{\partial y} \right\} dx, \] eine Gleichung, welche die Gestalt (A) besitzt. Es ist also vermöge \((\text{A}')\) die Bestimmung von \(\psi(x)\) unmittelbar gegeben, wobei allerdings vorausgesetzt werden muss, dass \(h(y)= H(y,y)\) im Intervalle \(\alpha\dots \beta\) endlich und von Null verschieden bleibt. Die Gleichung (2) kann übrigens auch durch Einführung der Function \(\varPsi(y)= \int_\alpha^y\psi(x)dx\) und partielle Integration auf der rechten Seite von (2) auf die Form (A) gebracht werden. Der Fall, in welchem \(H(y,y)\) Null oder unendlich wird im Intervalle \(\alpha\dots\beta,\) erfordert eingehendere Untersuchungen. In dieser Hinsicht hat der Verf. (unter 3)) insbesondere die Gleichung \[ (3)\qquad f(y)= \int_0^y\varphi(x) H(x,y)dx, \quad a>y>0 \] unter folgenden Voraussetzungen behandelt: Es ist \[ f(y)= y^{n+1}f_1(y), \quad H(x,y)= \sum_0^n a_ix^iy^{n-i} +\sum_0^{n+1} x^iy^{n+1-i}L_i(x,y), \] wo die \(a_i\) Constanten sind und \(f_1(y),\) \(L_i(x,y)\) und ihre nach \(y\) genommenen Ableitungen endlich und stetig in dem Intervalle \(0\dots a\) bleiben, während \(h(y)= H(y,y)\) in diesem Intervalle nur für \(y=0\) verschwindet. Unter diesen Voraussetzungen findet der Verf. das merkwürdige Resultat, dass die Gleichung (3) dann durch eine, und nur durch eine, stetige Function \(\varphi(x)\) befriedigt werden kann, wenn die Gleichung \(n^{\text{ten}}\) Grades in \(\lambda\) \(\frac {a_0}{\lambda-1} +\frac {a_1}{\lambda-2} +\cdots +\frac {a_n}{\lambda-n-1} =0\) \(n\) endliche, von einander verschiedene Wurzeln besitzt, deren reelle Teile sämtlich positiv sind. Der Verf. hat die vorstehend besprochenen Untersuchungen auch auf die Umkehrung vielfacher Integrale (unter 2)), sowie auf die Umkehrung von mehreren simultan betrachteten, einfachen oder vielfachen Integralen ausgedehnt. Reviewer: Hurwitz, Prof. (Zürich) Cited in 10 ReviewsCited in 8 Documents MSC: 26B99 Functions of several variables JFM Section:Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines. Keywords:functions obtained by iterated integration Citations:JFM 27.0209.01; JFM 27.0209.02 × Cite Format Result Cite Review PDF