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Theory of groups of finite order. (English) JFM 28.0118.03

Cambridge: University Press. XVI + 388 S. \(8^\circ\) (1897).
Die Theorie der Gruppen endlicher Ordnung, von Cauchy begründet, von Galois direct durch die Einführung des wichtigen Begriffes der ausgezeichneten Untergruppe und die entsprechende Einteilung in einfache und zusammengesetzte Gruppen, sowie indirect durch ihre Verknüpfung mit der Algebra weiter entwickelt, hat seit dem Erscheinen der bekannten Sylow’schen Abhandlung ,,Théorèmes sur les groupes de substitutions” (Math. Ann. 5, 1872, JFM 04.0056.02) besonders in den letzten Jahren einen solchen Aufschwung genommen, dassdas Erscheinen des vorliegenden Leitfadens einem wirklichen Bedürfnis entgegenkommt. Die bisher über diesen Gegenstand erschienenen Lehrbücher, nämlich Serret’s ,,Cours d’Algègre Supérieure” (1866), Jordan’s ,,Traité des substitutions et des équations algébriques”, Netto’s ,,Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra” (1882, JFM 14.0090.01), sowie endlich Weber’s ,,Lehrbuch der Algebra” (1895/96) (siehe JFM 26.0102.01; JFM 27.0056.01) stellen mehr oder weniger die Theorie der endlichen Gruppen vom Standpunkte der Substitutionentheorie und ihrer Anwendung auf die Algebra aus dar; nur Weber behandelt den Gegenstand in dem ersten Teile des zweiten Bandes (1896) von einem allgemeineren Standpunkte aus und entwickelt eine von jeder speciellen Darstellungsart unabhängige Theorie der endlichen Gruppen. Diesen letzteren Standpunkt vertritt nun durchweg der Verf. des vorliegenden Leitfadens: er will dem Leser die Hauptumrisse der Theorie der endlichen Gruppen, frei von jeder Anwendung, übermitteln, hauptsächlich in der Absicht, unter den englischen Mathematikern das Interesse für einen Gegenstand der reinen Mathematik zu erwecken, welcher ,,um so fascinirender wirkt, je mehr man sich mit ihm beschäftigt”; — aber auch die Mathematiker der anderen Länder haben Grund, dem Verf. für die wohlgelungene Ausführung seiner Absicht dankbar zu sein. — Nach einem Worte von Cayley ,,wird eine Gruppe durch die Combinationsgesetze ihrer Symbole definirt”, und eine reine Gruppentheorie dürfte sich danach keiner concreteren Darstellungsart bedienen als absolut notwendig ist. Wenn Verf. trotzdem den Substitutionsgruppen in seinem Buche einen beträchtlichen Platz eingeräumt hat, während andere besondere Darstellungsarten, wie z. B. die Gruppen der linearen Transformationen, dagegen zurücktreten, so liegt das daran, dass bei dem gegenwärtigen Stande unserer Kenntnis der Gruppenlehre viele Resultate in der reinen Theorie sehr leicht durch Mitteilung von Eigenschaften der Substitutionsgruppen erlangt werden, während es schwerlich ein Resultat giebt, welches directer durch Betrachtung der Gruppen der linearen Transformationen gefunden werden könnte.
Der Plan des Buches ist folgender: Im ersten Kapitel wird die Bezeichnung der Substitutionen auseinandergesetzt, um die in den folgenden Kapiteln vorkommenden Entwickelungen jedem Leser verständlich zu machen. Kapitel II-VII behandeln die wichtigsten Eigenschaften der Gruppen, welche von jeder besonderen Darstellungsform unabhängig sind; und zwar werden insbesondere im IV. Kapitel die ,,Abel’schen Gruppen”, deren Operationen sämtlich mit einander vertauschbar sind, und im V. Kapitel diejenigen Gruppen behandelt, deren Ordnung die Potenz einer Primzahl ist. Die Bezeichnungsweise und die Methoden der Substitutionsgruppen sind aus den in diesen Kapiteln enthaltenen Untersuchungen und Beweisen vollständig ausgeschlossen worden; nur in den Beispielen wurde die Bezeichnung an passender Stelle angewandt. In Kapitel VIII bis X werden diejenigen Eigenschaften der Gruppen mitgeteilt, welche von ihrer Darstellung als Substitutionsgruppen abhängen. Kap. XI behandelt den Isomorphismus einer Gruppe in sich. Obgleich die in diesem Kapitel vorkommenden Eigenschaften von der Darstellungsform der Gruppe unabhängig sind, so sind hier dennoch die Methoden der Substitutionsgruppen aus dem oben angegebenen Grunde teilweise angewandt worden. Graphische Darstellungsmethoden einer Gruppe werden im XII. und XIII. Kapitel betrachtet. Im Kapitel XIV werden die Eigenschaften einer Klasse von Gruppen, nämlich der linearen Gruppen, untersucht, welche in der Analysis von grosser Wichtigkeit sind und als allgemeine Erläuterung der vorhergehenden Theorie dienen sollen. Das letzte Kapitel enthält eine Reihe von Resultaten, welche mit der Einteilung der Gruppen in einfache und zusammengesetzte, bez. auflösbare zusammenhängen.
Beispiele zur Erläuterung der Theorie sind durch das ganze Buch verstreut; Verf. hat, soweit als möglich, solche Beispiele ausgewählt, welche zur Vervollständigung und Erweiterung der im Texte gegebenen Auseinandersetzungen dienen. — Ausser den bereits genannten Werken von Serret, Jordan, Netto und Weber hat Verf. noch mehrere Originalarbeiten, besonders von Dyck, Frobenius und Hölder, zu Rate gezogen; die aus Originalarbeiten stammenden Resultate sind aber stets mit vollständiger Quellenangabe versehen worden.
Die Ausstattung des Buches entspricht seinem tüchtigen Inhalt, so dass es allen, die sich für Gruppentheorie interessiren und sich auf einem bequemen, sicheren Wege in dieses abstracte Gebiet der Mathematik einführen lassen wollen, warm empfohlen werden kann. Besonders dankenswert ist eine im Anhange gegebene Terminologie der Gruppenlehre in englischer, französischer und deutscher Sprache.