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Ueber die Darstellung der endlichen Gruppen durch lineare Substitutionen. (German) JFM 28.0130.01

Verf. hat in seiner Arbeit [G. Frobenius, Berl. Ber. 1896, 1343–1382 (1896; JFM 27.0094.01)] jeder endlichen Gruppe \(H\) der Ordnung \(h\) eine Matrix des Grades \(h\) zugeordnet, deren Elemente von \(h\) Variabeln abhängen. Ihre Wichtigkeit beruht auf dem Zusammenhange, in dem sie selbst und die Primfactoren ihrer Determinante mit den linearen Substitutionen stehen, durch die sich die Gruppe \(H\) und die ihr isomorphen Gruppen darstellen lassen. Aus jeder solchen Darstellung kann man eine zur Gruppe \(H\) gehörige Matrix ableiten, deren Determinante in einer Potenz der Gruppendeterminante enthalten ist (§2). Ist die Determinante unzerlegbar, also einem Primfactor der Gruppendeterminante gleich, so nennt Verf. die Darstellung eine primitive. Umgekehrt entspricht jedem Primfactor \(f^{\text{ten}}\) Grades der Gruppendeterminante eine und, abgesehen von der Wahl der Variabeln, nur eine primitive Darstellung der Gruppe durch Substitutionen von \(f\) Variabeln (§4).
Die Gruppenmatrix kann in eine ähnliche Matrix transformirt werden, die in Teilmatrizen zerfällt. Benutzt man dabei allein die \(k\) Gruppencharaktere, so kann man sie in \(k\) Matrizen zerlegen, deren jede die \(f^{\text{te}}\) Potenz einer Primfunction \(\Phi\) des \(f^{\text{ten}}\) Grades zur Determinante hat (§3). Benutzt man aber höhere Irrationalitäten, so kann man sie in \(\Sigma f\) Matrizen zerlegen, deren jede eine Primfunction \(\Phi\) selbst zur Determinante hat (§5).Mit Hülfe einiger merkwürdiger Sätze über Determinanten \(n^{\text{ten}}\) Grades, deren Elemente \(n^2\) unabhängige Variabeln sind (§7), zeigt Verf. dann: man kann die Transformation so einrichten, dass je \(f\) Teilmatrizen, deren Determinanten demselben Primfactor \(f^{\text{ten}}\) Grades \(\Phi\) gleich sind, einander identisch gleich sind. Dann sind die Elemente aller Teilmatrizen zusammen \(\Sigma f^2=h\) von einander unabhängige Variabeln. Aus einer solchen Teilmatrix, deren Determinante \(\Phi\) ist, ergeben sich \(h\) lineare Substitutionen, die eine mit \(H\) isomorphe Gruppe bilden. Der Isomorphismus kann auch eine meroedrischer sein. Dies hängt von einer besonderen Beziehung ab, worin der Charakter \(\chi\) der Gruppe \(H\), welcher der Primfunction \(\Phi\) entspricht, zu einer invarianten Untergruppe von \(H\) stehen kann (§1). Die primitiven Darstellungen einer Gruppe durch lineare Substitutionen werfen ein neues Licht auf die Bedeutung der Relationen, aus denen die Charaktere der Gruppe und damit die Coefficienten der Primfactoren der Gruppendeterminante berechnet werden (§6).

MSC:

20C15 Ordinary representations and characters

Citations:

JFM 27.0094.01
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