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Remarques à propos du mémoire précédent. (French) JFM 28.0624.02

Siehe auch JFM 28.0624.01. Im ,,lntermédiaire des Mathématiciens” 1, 228 hatte Stephanos die Frage gestellt: ,,Giebt es Polyeder mit starren Seiten, die unter blosser Aenderung der körperlichen Winkel und der Dieder unendlich viele Formänderungen zulassen?” Bricard machte darauf in derselben Zeitschrift 2, 243 ein besonderes concaves Oktaeder bekannt, das die fragliche Eigenschaft besitzt. Cauchy hatte nämlich schon 1813 (Journ. de l’Éc. Pol. 16) gezeigt, dass es unter den vorgeschriebenen Bedingungen kein wandelbares convexes Polyeder giebt. In der vorliegenden Abhandlung verallgemeinert Bricard seine Entdeckung dadurch, dass er das Stephanos’sche Problem für die Oktaeder mit Dreiecksflächen allgemein analytisch behandelt und löst. Hiernach giebt es drei Typen von Gelenkoktaedern mit unveränderlichen Seiten. Alle diese Polyeder sind concav, oder, genauer ausgedrückt, besitzen gewisse sich kreuzende Seitenflächen. Die Oktaeder der Typen I und II lassen sich einfach definiren. Die ersten besitzen eine Symmetrieaxe und sind daher so beschaffen, dass die von vier ihrer Seiten mit gemeinsamer Ecke gebildete Figur mit der von den anderen Seiten gebildeten Figur congruent ist; diejenigen vom Typus II besitzen eine Symmetrieebene, die durch zwei Gegenecken geht. (Diese Definitionen sind nicht ganz hinreichend; man könnte sie jedoch nur um den Preis grosser Weitschweifigkeit ergänzen.) Was die Oktaeder vom Typus III betrifft, so ist ihre Wandelbarkeit nicht so leicht zu veranschaulichen wie die der beiden ersten; deshalb erachtet sie der Verfasser als die interessantesten. Zuletzt wird darauf hingewiesen, dass das behandelte Problem identisch mit zwei anderen ist, von denen das erste lautet: ,,Welches sind die räumlichen wandelbaren Sechsecke, deren Seiten und Winkel dabei erhalten bleiben?” Modelle zur Erläuterung der Ergebnisse sind der Sammlung der École Polytechnique übergeben und in der Schrift abgebildet. Mannheim macht in seinen Bemerkungen auf die grosse Bedeutung dieser Betrachtungen für die geometrische Kinematik aufmerksam und deutet einige zu lösende Fragen an, die sich anknüpfen lassen (vergl. den Bericht S. 617, JFM 28.0617.05).

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Full Text: EuDML