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On the continuous group that is defined by any given group of finite order. (English) JFM 29.0103.03

Study (Leipz. Ber. 1889, 201) hat gezeigt, dass für jede transitive lineare homogene Gruppe von \(n\) Variabeln mit \(n\) unabhängigen Parametern die Parameter so gewählt werden können, dass die endlichen Gleichungen der Gruppe linear und homogen in den Parametern wie in den Variabeln sind. Sind \(x_1,x_2,\dots,x_n\) disursprunglichen, \(x_1',x_2',\dots,x_n'\), die transformirten Variabeln und \(y_1,y_2,\dots,y_n\) die in der angegebenen Weise gewählten Parameter, so lauten die endlichen Gleichungen der Gruppe \[ x_s'=\sum_{i,k}a_{sik}x_iy_k\qquad(s,i,k=1,2,\dots,n) \] Die Grössen \(a_{sik}\) sind absolute Constanten, durch eine Anzahl von Relationen mit einander verbunden, welche die Gruppeneigenschaft des Gleichungssystems bedingen. — In der ersten Arbeit betrachtet nun Verf. solche continuirlichen Gruppen, bei denen die Constanten \(a_{sik}\) mittels einer Gruppe von der endlichen Ordnung \(n\) bestimmt werden, und zwar in folgender Weise: Wenn \(S_1,S_2,\dots,S_n\) die Operationen einer Gruppe von der endlichen Ordnung \(n\) sind, so ist \(a_{sik}\) gleich 1 oder 0, je nachdem \(S_kS_i^{-1}S_s\) die identische Operation ist oder nicht. In den einfachsten Fällen \(n=2\) und \(n=3\), deren Untersuchung den Verf. zu der vorliegenden Arbeit angeregt hat, lauten die Transformationsgleichungen: \(x_1'=x_1y_1+x_2y_2\), \(x_2'=x_1y_2+x_2y_1\); und \[ x_1'=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3,\qquad x_2'=x_1y_3+x_2y_1+x_3y_2, \]
\[ x_3'=x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1, \] von denen man leicht feststellen kann, dass sie die Gruppeneigenschaft besitzen. Ein solches System von \(n^2\) Coefficienten ist bereits von Frobenius untersucht worden (Berl. Ber. 1896, 1343-1382; F. d. M. 27, 94, JFM 27.0094.01), und aus einem von ihm gefundenen Satze (I. c. 1346) folgt sofort, dass die entsprechenden Transformationsgleichungen die Gruppeneigenschaft besitzen; trotzdem ist Frobenius’ Arbeit von der des Verf. wesentlich verschieden und bezieht sich nicht auf die continuirliche Gruppe, die mit diesem Coefficientensystem verknüpft ist. — Das Resultat der ersten Arbeit ist folgender Satz: “Die continuirliche Gruppe \(G\), welche einer Gruppe \(g\) von der endlichen Ordnung \(n\) zugeordnet ist, ist das directe Product aus einer continuirlichen Abel’schen Gruppe von der Ordnung \(r\) und einer halbeinfachen Gruppe von der Ordnung \(n-r\), wo \(r\) die Anzahl der verschiedenen Systeme conjugirter Operationen in \(g\) bedeutet.” Dabei versteht Verf. unter dem der Theorie der endlichen Gruppen entlehnten Ausdruck “directes Product” Folgendes: Die beiden in \(G\) enthaltenen ausgezeichneten Untergruppen haben keine Operation ausser der identischen gemeinsam und sind so beschaffen, dass jede Operation der einen mit jeder Operation der anderen vertauschbar ist, während jede infinitesimale Operation von \(G\) durch eine lineare Combination der infinitesimalen Operationen dieser Untergruppen gebildet werden kann. Ferner versteht Verf. unter einer “halbeinfachen Gruppe” eine solche, welche keine ausgezeichnete integrable Untergruppe enthält. Der obige Satz wird durch instructive Beispiele erläutert. Es ergiebt sich noch, dass die Gruppe \(G\) dann und nur dann integrabel ist, wenn \(g\) eine Abel’sche Gruppe. — In dem zweiten Teile der Arbeit wird die Untersuchung der Gruppe \(G\) zum Abschluss gebracht: Verf. zeigt, dass \(r\) ganze Zahlen \(\mu_1(=1),\mu_1,\dots,\mu_r\) derart existiren, dass \(\mu_1^2+\mu_2^2+\cdots+\mu_r^2=n\) und \(G\) das directe Product von \(r\) Gruppen \(G_1,G_2,\dots,G_r\) ist, welche mit den allgemeinen linearen homogenen Gruppen in bez. \(\mu_1,\mu_1,\dots,\mu_r\) Variabeln einfach isomorph sind. Dabei ergeben sich zwei Sätze von Frobenius (Berl. Ber. 1. c.) über die Primfactoren der Gruppendeterminante. Ferner wird gezeigt, dass, wenn \(g\) als eine Gruppe mit \(m\) Symbolen gebildeter linearer Substitutionen dargestellt werden kann, so dass der Operation \(S_k\) von \(g\) die Substitution \(x_s'=\sum\limits_{i=1}^{i=m}a_{sik}x_i\,(s=1,2,\dots,m)\) entspricht, dann die Gleichungen \(x_s'=\sum\limits_{i,k}a_{sik}x_iy_k\,(s,i=1,2,\dots,m;k=1,2,\dots,n)\) eine endliche continuirliche Gruppe definiren, welche das directe Product aus einer Anzahl von Gruppen ist, deren jede mit einer allgemeinen linearen homogenen Gruppe einfach isomorph ist.
Die gleichzeitige Betrachtung der discontinuirlichen Gruppe \(g\) und der continuirlichen Gruppe \(G\) scheint die Untersuchung gewisser Eigenschaften von \(g\) zu erleichtern, insbesondere die Bestimmung des von Klein so genannten “Grades des mit \(g\) verbundenen Normalproblems” d. h. der kleinsten Zahl von Variabeln, in denen \(g\) als Gruppe linearer Substitutionen dargestellt werden kann.
Die in den ersten Paragraphen entwickelten Eigenschaften der charakteristischen Determinante einer einfach transitiven linearen homogenen Gruppe, welche für die Discussion von \(G\) notwendig sind, machen keinen Anspruch auf Vollständigkeit und sind, einschliesslich der Resultate des §6, bereits von Molien (“Ueber Systeme höherer complexer Zahlen”, Math. Ann. 41, 83-156, 1892, JFM 24.0347.01) in anderer Form und mit anderen Beweismitteln gefunden worden. Ferner sind die in den §§11-13 behandelten Fragen bereits in einer Abhandlung von Frobenius (Berl. Ber. 1897, 994-1015, JFM 28.0130.01) enthalten, der sich seinerseits auf eine Arbeit von Molien (Dorp. Naturforscher Ges. Ber. 1897) bezieht.

MSC:

20B05 General theory for finite permutation groups
20F40 Associated Lie structures for groups
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