On Riemann’s \(zeta\) function and the number of primes under a given bound. (Sur la fonction \(\zeta(s)\) de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée.) (French) JFM 30.0193.03

De la Vallée-Poussin, Ch. J.

Belg. Mém. cour. in \(8^\circ\), 59, 74 S. (1899).

Ein eingehendes Referat über diese Abhandlung und eine historische Darstellung dieser Frage ist in der Form eines Berichtes in Belg. Bull. (Juli 1898) gegeben worden. Folgendes ist eine kurze Uebersicht der vom Verf. gewonnenen Ergebnisse. In dem ersten Teile findet er eine unterhalb der Einheit gelegene obere Grenze des reellen Teiles der Wurzeln \(\alpha+\beta i\) von \(\zeta(s)\); diese obere Grenze unterscheidet sich von der Einheit um eine Grösse, die mit \((1:\beta)\) sich der Null nähert. Vermittelst dieser Grenze gelangt Verf. zu angenäherten Werten für eine grosse Zahl von Reihen bezüglich der Nullstellen der Riemann’schen Function oder der Primzahlen. Endlich beweist er folgenden Hauptsatz: Der Integrallogarithmus ist ein asymptotischer Ausdruck für die Anzahl der unterhalb einer gegebenen Grenze liegenden Primzahlen, von grösserer Genauigkeit als alle dafür möglichen Ausdrücke unter endlicher Form. Schliesslich beweist er das Euler’sche Theorem über die Reihe \(S(\mu(k):k)\) und giebt einen angenäherten Wert für eine bestimmte Anzahl von Gliedern.

Reviewer: Mansion, Prof. (Gent) (Lampe, Prof. (Berlin))

MSC:

11N05	Distribution of primes
11M06	\(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11M26	Nonreal zeros of \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\); Riemann and other hypotheses

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Kapitel 2. Zahlentheorie. A. Allgemeines.

Keywords:

roots of Riemann’s zeta function; integrallogarithm; prime number theorem; prime number theorem with remainder