Determination of all subgroups of a twice infinite series of simple groups. (Bestimmung aller Untergruppen einer doppelt unendlichen Reihe von einfachen Gruppen.) (Swedish) JFM 30.0197.01

Wiman, A.

Stockh. Akad. Bihang. \(25_1\), No. 2, 47 S. (1899).

Es sei \(F(x)\) eine im Körper der rationalen Zahlen nach einem Primzahlmodulus \(p\) irreductible Function \(n\)ten Grades mit ganzzahligen Coefficienten. Man führe die Galois’sche imaginäre Zahl \(\varepsilon\) ein, welche der Congruenz \(F(\varepsilon)\equiv0\) (mod. \(p\)) genügt. In dem hierdurch erweiterten Zahlkörper giebt es \(p^n\) nach \(p\) incongruente Zahlen. Unter diesen seien \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) vier beliebige, welche nur die Bedingung \(\alpha\delta-\beta\gamma\equiv1\) erfüllen. Das System der Congruenzen \[ z'\equiv\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta} \] bildet dann eine endliche Gruppe \(G_{n,p}\). Für das ganze zweifach unendliche System der \(G_{n,p}\) giebt der Verf. eine einheitliche Lösung der Frage nach den verschiedenen Systemen von gleichberechtigten Untergruppen. Hierdurch wird eine von Burnside ausgesprochene Vermutung widerlegt, dass für jeden Wert von \(n\) eine besondere Discussion nötig wäre, sobald \(p\) eine ungerade Primzahl ist. Der Kürze wegen weisen wir übrigens auf die Abhandlung selbst hin.

Reviewer: Brodén, Dr. (Lund)

MSC:

11R99	Algebraic number theory: global fields
14E05	Rational and birational maps

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Kapitel 2. Zahlentheorie. A. Allgemeines.

Keywords:

Burnside’s conjecture; rational transformation