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On a new and important theorem in the theory of functions. (Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions.) (French) JFM 30.0364.02

Ist \(f(z)\) eine meromorphe Function in einem den Nullpunkt, wo sie weder 0 noch \(\infty\) wird, enthaltenden Teile der Ebene, und sind \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), ..., \(\alpha_n\) sämtliche Nullstellen, \(\beta_1\), \(\beta_2\), ..., \(\beta_n\) sämtliche Pole der Function im Innern oder auf der Peripherie eines Kreises \(|z|=r\), der ganz in dem gegebenen Gebiete liegt, so gilt die Formel: \[ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}l|f(re^{\Theta i})|d\theta = l|f(0)| + l\frac{r^{n-m}|\beta_1|\cdot|\beta_2|\cdots|\beta_m|} {|\alpha_1|\cdot|\alpha_2|\cdots|\alpha_m|}. \] Verf. erläutert die Wichtigkeit dieser Formel durch mehrfache Anwendungen, insbesondere durch den Hinweis auf die nunmehrige Möglichkeit des mit dem Problem der Anzahl der unter einer gegebenen Grenze liegenden Primzahlen eng zusammenhängenden Beweises, dass die Nullstellen der ganzen transcendenten Riemann’schen Function \(\xi(t)\) sämtlich reell sind.

MSC:

30C15 Zeros of polynomials, rational functions, and other analytic functions of one complex variable (e.g., zeros of functions with bounded Dirichlet integral)
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References:

[1] (I)Sur les fonctions entières. (2)Note sur une condition nécessaire et suffisante pour que tous les xéros d’une fonction entière soient réels.
[2] Ici et dans la suite je désigne toujours par a) la partie réelle et para la valeur conjuguée dea.
[3] Voir Tidskrift for Mathematik, Copenhague 1884, p. 70 et 83 et Comptes Rendus, t. 106, p. 834.
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