Sur un exemple d’approximations successives divergentes. (French) JFM 31.0333.01

Picard, E.

S. M. F. Bull. 28, 137-143 (1900).

Die Gleichung \[ \varDelta u\equiv \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = F(u,x,y),\tag{1} \] in der \(F\) eine positive wachsende Function von \(u\) bezeichnet, so lange \((x,y)\) in einem gewissen Bereiche der Ebene bleibt, besitzt ein continuirliches Integral, und zwar ein einziges, das auf einer beliebig vorgezeichneten Curve \(C\) in dem genannten Bereiche verschwindet. Sucht man dies Integral auf dem Wege der successiven Approximationen zu erhalten, indem man die Gleichungen bildet: \[ \varDelta u_1 = F(0,x,y),\quad \varDelta u_2 = F(u_1,x,y),\dots, \varDelta u_n = F(u_{n-1},x,y) \] mit der Bedingung, dass alle \(u\) auf \(C\) verschwinden, so bilden die \(u\) mit ungeraden Indices eine wachsende, die mit geraden Indices eine abnehmende Reihe, die verschiedenen Grenzen zustreben können. Wenn man annimmt, dass \(u_{2n+1}\) und \(u_{2n}\) gleichmässig gegen ihre Grenzen \(u\) und \(v\) convergiren, so ist \[ \varDelta u = F(v,x,y),\quad \varDelta v = F(u,x,y). \] Die Feststellung dieser gleichmässigen Convergenz für die \(u\) mit ungeraden und geraden Indices ist der Zweck der vorliegenden Note. Der Beweis wird nicht für den allgemeinen Fall geführt, sondern unter der Voraussetzung, dass \(F\) nur eine Function von \(\sqrt{x^2+y^2}\) und die Curve \(C\) ein Kreis um den Ursprung ist.
Vorausgeschickt wird die analoge Behandlung der Gleichung mit 2 Variabeln \(\frac{d^2y}{dx^2}=f(x,y)\), wo \(f\) eine positive wachsende Function ist, so lange \(x\) zwischen \(a\) und \(b\) bleibt, und das Integral \(y\) der Bedingung genügen soll, für \(x=a\) und \(x=b\) zu verschwinden.

Reviewer: Hamburger, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen.