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The theory of the double gamma function. (English) JFM 32.0442.02

Der Verf. entwickelt in dieser umfangreichen Monographie die Theorie mehrerer mit einander verbundenen Funktionen, die sich aus der Weiterbildung der Gammafunktionen ergeben und als Doppel-Bernoullifunktionen und Doppel-Gammafunktionen bezeichnet werden. Wird, wie dies bereits früher geschehen ist, die einfache Bernoullifunktion \(S_n (a, \omega)\) als diejenige ganze algebraische Funktion (\((n + 1)\)-ten Grades) von \(a\) definiert, die der Differenzengleichung \(f(a + \omega) - f(a) = a^n\) (wo \(n\) eine ganze Zahl ist) genügt und für \(a = 0\) verschwindet, so soll die Doppel-Bernoullifunktion diejenige ganze algebraische Funktion (\((n + 2)\)-ten Grades)von \(a\) sein, die für \(a = 0\) verschwindet und die Differenzengleichung: \[ f(a+ \omega_1) - f(a) = S_n (a, \omega_2) - S_{n+1}' (0, \omega_2)/ (n+1) \] erfüllt. Diese, wie bewiesen wird, in den Parametern \(\omega_1\) und \(\omega_2\) symmetrische Funktion wird mit \({_2}S_n (a| \omega_1, \omega2)\) bezeichnet. Die Koeffizienten ihrer Entwicklung nach Potenzen von \(a\) werden als Doppel-Bernoullizahlen definiert (die der Entwicklung der Bernoullifunktion sind die Bernoullischen Zahlen). Es wird dann eine Reihe von Eigenschaften, wie Rekursionsformeln, Integraleigenschaften und Reihenentwicklungen der Doppel-Bernoullifunktionen und Doppel-Bernoullizahlen entwickelt, wobei naturgemäßdie geraden und ungeraden Indizes Unterschiede bedingen. Den Schlußdes ersten Teils bildet der Nachweis, daß, abgesehen von einem linearen und einem konstanten Glied, \({_2}S_n (a| \omega_1, \omega_2)\) die einzige ganze algebraische Funktion ist, die der Differenzengleichung \(f(a+ \omega_1 + \omega_2) - f(a + \omega_1) - f(a + \omega_2) + f(a) = a^n\) genügt. Im zweiten Teil wird dann ohne Vorbereitung die der Variable \(z\) und den Parametern \(\omega_1\) und \(\omega_2\) eingeführt, und zwar dadurch, daßdie dritte Ableitung ihres Logarithmus nach \(z\) durch die Reihe \[ -2 \sum_0^\infty{^{m_1}} \sum_0^\infty{^{m_2}} 1/ (z+ m_1 \omega_1 + m_2 \omega_2)^3 \] definiert wird. Für die so definierten Funktionen werden ebenfalls Rekursionsformeln, Integraleigenschaften, Reihenentwicklungen u. s. w. in breiter Ausführlichkeit gegeben. Es treten dabei Konstanten auf, die der Euler-Mascheronischen und der Stirlingschen analog sind. Die vorher entwickelten Theoreme über die Doppel-Bernoullifunktionen werden benutzt. Im Laufe der Entwicklung werden die Alexejewskyschen \(G\)-Funktionen, die Lösungen der Funktionalgleichung \[ f(z + 1) = \varGamma (z) \cdot f(z), \] hinzugezogen, welche die Darstellung zum Teil vereinfachen. Mit allen diesen Hülfsmitteln gelingt es, die Doppel-Gammafunktionen als einfach-unendliche Produkte gewöhnlicher Gammafunktionen darzustellen, die mit quadratischen Exponentialfunktionen der Variabeln multipliziert sind. Die Form entspricht der Darstellung der \(\sigma\)-Funktionen durch unendliche Produkte von Kreisfunktionen. Eine Darstellung durch eine unendliche Reihe von einfachen Gammafunktionen ist dagegen nicht möglich. Auch existiert nichts einem Additionstheorem äquivalentes. Nachdem so die Eigenschaften der gedachten Funktionen, die übrigens nur zum Teil neu sind, vollständig entwickelt sind, werden ihre Beziehungen zu anderen Funktionen untersucht, insbesondere zu der \(\wp -\), \(\zeta -\) und \(\sigma\)-Funktion, mit denen sie, wie aus der Definition hervorgeht, nahe verwandt sind. Es ergibt sich hieraus eine neue Darstellung für die Weierstraßschen Resultate. Der dritte Teil beginnt mit einer Definition der Doppel-Riemann-\(\zeta\)-Funktionen als \[ \zeta_2 (s,a | \omega_1, \omega_2) = \frac{i\varGamma (1 -s)}{2\pi} \int \frac{e^{-az} (-z)^{s-1} dz}{(1- e^{\omega_1 z}) (1- e^{\omega_2 z})}\,, \] wobei die Integration über eine Randkurve zu erstrecken ist, die von \(\infty\) zu \(\infty\) geht und den Nullpunkt einschließt. Diese Funktion wird durch Funktionen der betrachteten Art dargestellt und mit deren Hülfe untersucht. Man gelangt auf diesem Wege zu einer einfachen Definition von \(\zeta_2 (s, a | \omega_1, \omega_2)\) als einfachster Lösung der Differenzengleichung \[ f(a + \omega_1 + \omega_2) - f(a + \omega_1) - f(a + \omega_2) + f(a) = a^{-s}. \] Den Inhalt des vierten Teils bildet eine Fortsetzung der ersten Hälfte des zweiten Teils, nämlich eine weitere Entwicklung von Multiplikations-, Transformations- und Integrationseigenschaften der Doppel -Gammafunktionen. Im fünften Teil wird zunächst eine Reihe entwickelt, die sich dem Logarithmus der Doppel-Gammafunktion im Unendlichen asymptotisch nähert, und dann bewiesen, daßdie Doppel-Gammafunktion keine Differentialgleichung befriedigen kann, in deren Koeffizienten sie nicht selbst eingeht.

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