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Sopra alcuni criteri di instabilità. (Italian) JFM 32.0720.01

Diese große Abhandlung enthält die ausführliche Ableitung der Ergebnisse, welche der Verf. in drei Noten der C. R. 131 schon veröffentlicht hat (vergl. F. d. M. 31, 697-699, 1900, JFM 31.0697.02, JFM 31.0698.01 und JFM 31.0699.04). Nachdem in der Einleitung auf die Untersuchungen von Poincaré (Mécanique céleste) und Liapunow (J. de Math. (5) 3, 81-94; F. d. M. 28, 630, 1897, JFM 28.0630.01) hingewiesen ist und die Bedenken betreffs der Übertragung statischer Betrachtungen auf dynamische Prozesse zur Entscheidung der Frage nach der Stabilität einer Bewegung begründet sind, wird der Gedankengang des Verf. folgendermaßen skizziert. Es sei \(dx_i/dt= X_i\) \((i = 1, 2, \dots, m)\) ein System von Differentialgleichungen, in dem die \(X_i\) periodische Funktionen von \(t\) sind. \(\varSigma\) sei eine periodische Lösung desselben. Im III. Kapitel wird bewiesen, daß\(\varSigma\) immer stabil oder instabil zugleich mit einer gewissen Punkttransformation \(\varGamma\) ist: \[ x_i^{(1)} = f_i (x_1, x_2, \dots, x_m) \qquad (i= 1,2, \dots, m), \] die zwei-eindeutig und regulär in der Umgebung des Ursprunges \(O\) und für die \(O\) ein gemeinschaftlicher zusammenfallender Punkt ist. Stabil wird hier eine Punkttransformation \(\varGamma\) genannt, wenn beim Ausgang von einem beliebigen Punkte \(P(x_1, x_2, \dots, x_m)\), der \(O\) hinlänglich nahe liegt, die (positiven oder negativen) Iterationen won \(\varGamma\) nicht mehr aus einer vorgegebenen Umgebung von \(O\) hinausführen, wie klein diese auch sein mag. Auf diese Weise wird alles auf das Studium der Punkttransformationen \(\varGamma\) zurückgeführt. Multiplikatoren von \(\varGamma\) heißen die Wurzeln der charakteristischen Gleichung, die zu der linearen Substitution gehört, welche aus \(\varGamma\) erhalten wird, wenn man die \(f_i\) auf ihre Teile erster Ordnung beschränkt. Zuerst wird der allgemeine Fall betrachtet, bei welchem nicht alle Multiplikatoren von \(\varGamma\) in absolutem Werte der Einheit gleich sind. Es wird leicht erkannt, daßdieses Instabilität ist. Dieses Ergebnis entspricht dem Liapunowschen Satze für die Differentialsysteme und liefert einen neuen Beweis dieses Satzes. Der Fall, bei welchem alle Multiplikatoren den absoluten Betrag 1 haben, entspricht der Stabilität in erster Annäherung und ist gerade der, in welchem die Wirksamkeit der Methode zu erproben war. Da es sich um einen ersten Versuch handelt, so ist die Untersuchung auf den Fall \(m = 1\) beschränkt. Die zu diskutierenden Transformationen lassen sich auf einen der beiden Typen bringen: \[ \begin{aligned} & (\text B) \qquad x_1 = x+ \dots, y_1 = y+ x+ \dots;\\ & (\text C) \qquad x_1 = x\cos \vartheta - y\sin \vartheta + \dots,\;y_1 = x\sin \vartheta + y\cos \vartheta + \dots,\end{aligned} \] wo die weggelassenen Posten in Bezug auf \(x\) und \(y\) von höherer als der ersten Ordnung sind. Für den Typus (B) wird ein allgemeines Kriterium der Instabilität beigebracht; für den Typus (C), der wichtiger ist, nur bei Einführung der Beschränkung, daßder Winkel \(\vartheta\) mit \(2\pi\) kommensurabel ist.
Die erlangten Kriterien ermöglichen die Feststellung der Instabilität gewisser Kategorien periodischer Lösungen, die in der ersten Annäherung stabil erscheinen, wie sich bei einer Anwendung auf ein beschränktes Dreikörperproblem gezeigt hat. Vom mathematischen Standpunkte aus ist also die Frage der Stabilität noch nicht abgeschlossen.

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References:

[1] Cfr. in particolareJournal de Mathématiques, 1897. Il sig.Liapounoff dedicò al problema generale della stabilità del movimento varie memorie, nonchè un intero volume, scritto disgraziatamente in lingua russa. Per quanto mi fu dato rilevare dalle brevi relazioni dell’Jahrbuch über die Fortschrille der Mathematik, l’A. distingue la stabilità passata dalla futura e ottiene in quest’ordine di idee risultati di grande interesse. Rimangono fuor della cerchia dei casi discussi quelli, che io ho qui incominciato a studiare, e che, rispetto alle piccole oscillazioni, sarebbero a dirsi stabili, si nel passato che nel futuro.
[2] Poincaré,Mécanique céleste. Tom. III, Cap. XXVI.
[3] E ciò senza uscirc dall’ambito della meccanica pura. Se poi si considera il movimento dei corpi celesti nei suoi rapporti cogli altri fenomeni fisici, non basta modificare il concetto di stabilità, ma si rende addirittura inattendibile l’ipotesi di una qualsiasi forma di stabilità. A questa conclusione arrivano, per vie diverse, LordKelvin ePoincaré. Cfr.W. Thomson,On the Maxwell-Boltzmann Doctrine regarding Distribution of Energy. (Proceedings of the Royal Society of London, vol. L, 1891, pag. 85.)Poincaré,Sur la stabilité du système solaire. (Annuaire du Bureau des Longitudes, 1898.)
[4] Mécanique céleste, loc. cit. A questo proposito è fondamentale una osservazione del sig.Bohlin. Cfr.Ueber die Bedeutung des Princips der lebendigen Kraft für die Frage von der Stabilität dynamischer Systeme. (Acta Mathematica, tom. X, 1887.)
[5] Cfr. p. es.Picard,Traité d’analyse, tom. III, pag. 259–260.
[6] Poincaré,Mécanique céleste, tom. I, n.o 27; oppureNiccoletti,Sugli integrali delle equazioni differenziali ordinarie, considerati come funzioni dei loro valori iniziali, (Rendiconti del Lincei, 15 dicembre 1895);Picard,Traité d’analyse, tom. III, Cap. VIII, pag. 157–162.
[7] Cfr.Sur l’instabilité de l’équilibre dans certains cas où la fonction de forces n’est pas maximum, (Journal de Mathématiques, 1897); che è la Memoria, già citata nell’Introduzione. Il teorema è quivi dimostrato per il caso particolare, in cui leX i sieno indipendenti dat. L’A. però ha stabilito la proposizione in generale in un lavoro anteriormente pubblicato (in lingua russa):Il problema generale della stabilità del movimento, Kharkow, 1892.
[8] Journal de Mathématiques, 1881, 1882, 1885, 1886. Cfr. in particolare le pagine 172–196 della terza Memoria.
[9] Sur les courbes définies par des équations différentielles. Acta Mathematica, tom. 24, 1900. Seguiamo per es. la discussione, che l’A. ci presenta a pag. 74, dei sistemi della forma (22) (il nostro tipo (b)). Risulta da essa che, se un certo {\(\psi\)} (0, 0) non si annulla, vi hanno caratteristiche passanti per l’origine con tangenti determinate, e quindi necessariamente instabilità. Ora {\(\psi\)}(0, 0) non è altro (colle nostre notazioni) che il coefficiente diy 2 nell’X del sistema (b). Ecco ritrovato il nostro criterio di instabilità.
[10] Mécanique céleste, tom. II, n.o 208.
[11] Poincaré,Mécanique céleste, tom. I, n.i 69, 70.
[12] Cfr.Poincaré,Mécanique céleste, tom. I, n.o 43. L’A. si riferisce alle variabilix i ,y i del paragrafo precedente. Siccome le (6) corrispondono a valorix i ,y i , per i quali laF delle equazioni differenziali (l’) non é regolare, cosi non sarebbe stato a priori giustificato richiamarsi senz’altro al risultato del sig.Poincaré.
[13] Les orbites des petites planètes rapportées à l’orbite de Jupiler. (Bulletin Astronomique. Tom. XVI, 1899.)
[14] Circa le proprietà di queste funzioniA j (0) , cfr.Tisserand,Mécanique céleste. Tom. I, Cap. XVII.
[15] Ibidem. Tom. I, n.o 93.
[16] Cfr.Tisserand, loc. cit., Tom. I, pag. 272. Si tratta della funzione ivi designata conb (i) ({\(\alpha\)}). Ponendovi {\(\alpha\)}=R, i=s, si ha la (17).
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