Zur geometrischen Deutung der Invarianten ebener Kollineationen. (German) JFM 33.0139.01

Muth, P.

Math. Ann. 55, 594-596 (1902).

Liegt eine Kollineation \(K\) in der Ebene vor, so entspricht jedem Punkte \(P\) der Ebene ein bestimmter Kegelschnitt \(C\) als Ort der Punkte \(x\), deren Verbindungsgerade mit \(P\) jeweils durch den zu \(x\) homologen Punkt \(x'\) hindurchgeht. Diese Kegelschnitte \(C\) bilden ein Netz, “das Netz von \(K\)”.
Man ordne nun jeder Geraden \(u\) der Ebene denjenigen Punkt \(x\) von \(u\) zu, für den die Gerade \(xx'\) mit \(u\) zusammenfällt; dann sind \(u\) und \(x\) homologe Elemente einer quadratisch-reziproken Verwandtschaft \(R\) der Ebene. Diese Beziehung \(R\) wird durch die Kollineation \(K\) in sich selbst transformiert, und umgekehrt.
Sei \(\varSigma a_{ik}x_iu_k=0\) die Gleichung der Kollineation \(K\), \(\varSigma \alpha_{ik}x_ku_i=0\) die Gleichung der inversen Kollineation. Die Kollineation heiße eine “ausgezeichnete”, wenn die Invariante \(\alpha_{11}+\alpha_{22}+\alpha{33}\) verschwindet. In diesem Falle gibt es, wie mittels gewisser homologer Vierseite bewiesen wird, eine Quadrupelserie von Dreiecken \(ABC\) derart, daß \(ABC'\) und \(A'B'C''\), \(BCA'\) und \(B'C'A''\), \(CAB'\) und \(C'A'B''\) perspektiv liegen; die drei Zentren der Perspektivität bilden ein Dreieck, das seinem homologen eingeschrieben ist.
Auf diesem Wege kann aus jeder bekannten Deutung einer Invariante der Kollineation eine neue Deutung rational abgeleitet werden.

Reviewer: Meyer, F., Prof. (Königsberg i. Pr.)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Algebra. Kapitel 2. Theorie der Formen (Invariantentheorie).

References:

[1]	Vergl. meine Note: Ueber Covarianten ebener Collineationen, diese Annalen (1892) Bd. 40, S. 89 ff. § 1, Art. 1.
[2]	M. Pasch, Math. Ann. (1884) Bd. 23, S. 426 ff. · JFM 16.0728.01
[3]	M. Pasch, Math. Ann. (1886) Bd. 26, S. 211 ff, § 4. · JFM 17.0692.01
[4]	M. Pasch, a. zuerst c. O.