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Sur quelques développements de \(1:(1-x)\) en séries de polynomes. (French) JFM 34.0305.01

Auf elementarem Wege (ohne Benutzung der Integralrechnung) wird bewiesen: Setzt man \[ U_0^n=1,\quad U_1^n=1+\frac xn,\quad U_2^n=1+\frac{2x}{n} + \frac{2x^2}{n^2} + \frac{x^3}{n^3},\dots, U_{p+1}^n=U_p^n + \frac xn (U_p^n)^2 \quad (p \leqq n-1), \] so hat \(U_n^n\) für \(n=\infty\) den Wert \(1:(1 - x)\) zur Grenze, wenn \(x\) nicht eine ganze Zahl, die größer als 1 ist, bedeutet.
In jedem endlichen, durch eine geschlossene Kurve begrenzten Bereich, der keinen Punkt mit dem von \(+1\) bis \(+\infty\) gehenden Teil der reellen Achse gemeinsam hat, konvergiert \(U_n^n\) gleichmäßig gegen \(1:(1-x)\).

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