Sur l’intégrabilité d’une expression différentielle. (French) JFM 34.0349.02

Montel, P.

C. R. 136, 1233-1235 (1903).

Die Untersuchung des Quotienten \[ r=\frac{f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+f(x,y)}{hk} \] führt den Verf. zu folgenden Sätzen: 1. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die stetigen Funktionen \(p(x,y)\) und \(q(x,y)\) die partiellen Ableitungen einer und derselben Funktion seien, ist die, daß die Punktmenge, wo \(\frac{\partial p}{\partial y}\) von \(\frac{\partial q}{\partial x}\) verschieden ist, das Maß Null hat. 2. Damit das Doppelintegral \(\iint (Adydz+Bdzdx+Cdxdy)\), genommen über eine Fläche im Innern eines Bereiches, wo \(A, B, C\) stetige Funktionen von \((x, y, z)\) sind, nur von der die Fläche begrenzenden Kontur abhängt, ist notwendig und hinreichend, daß die Punktmenge, wo \(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z} \neq 0\) ist, das Maß Null besitzt. – Die von Painlevé aufgeworfene Frage, ob eine Funktion mehrerer Variablen, analytisch in bezug auf jede derselben, auch in bezug auf die Gesamtheit dieser Variablen analytisch ist, muß bejahend beantwortet werden. – Endlich erklärt die Betrachtung des Quotienten \(r\) die Analogie der beiden Integrationsprobleme der Differentialgleichungen \[ \frac{dy}{dx}=f(x,y) \quad \text{und}\quad \frac{\partial^2z}{\partial x \partial y}=f(x,y,z), \] für welche die über die Existenz der Integrale erhaltenen Resultate, falls man nur die Stetigkeit der Funktion \(f\) voraussetzt, einfach durch die Cauchysche Methode wiedergefunden werden können.

Reviewer: Wallenberg, Dr. (Charlottenburg)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen.