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Über polynomische Entwicklungen. (German) JFM 34.0430.01

Eine in einem einfach zusammenhängenden, von einer stetigen Kurve \(C\) begrenzten, endlichen Gebiet \(S\) der \(x\)-Ebene überall reguläre analytische Funktion \(F(x)\) läßt sich, wie aus den fundamentalen Untersuchungen von Mittag-Leffler folgt, und wie Runge (F. d. M. \( 17\), 379 bis 381, 1885, JFM 17.0379.01) und Hilbert (F. d. M. \(28\), 359, 1897, JFM 28.0359.01) direkt bewiesen haben, in \(S\) durch eine nach Polynomen fortschreitende Reihe darstellen, und zwar gibt es unendlich viele solcher Darstellungen. Der Gedanke von Faber besteht darin, der Entwicklung die Bedingung aufzuerlegen, daß sie die Form haben soll: \[ F(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nP_n(x), \] wo die Polynome \(P_n(x)\) ausschließlich von dem betrachteten Regularitätsgebiete \(S\) abhängen, dagegen die Koeffizienten \(a_n\) durch die zu entwickelnde Funktion \(F(x)\) bestimmt werden. Eine Entwicklung dieser Art ist die Taylorsche Reihe; bei ihr ist \(C\) ein Kreis und \(P_n(x)=x^n\). Dem Verf. ist es gelungen, die Frage für den Fall zu erledigen, daß das Gebiet \(S\) eine aus einem einzigen regulären Zuge bestehende Begrenzung hat. Unter dieser Voraussetzung zeigt er, daß sich in \(S\) reguläre Funktion darin auf eine einzige Weise durch eine der Form: \[ \sum_{n=0}^\infty a_n P_n(x) \] darstellen läßt; dabei sind die Polynome \(P_n(x)\) von dem Grade ihres Index.
Die genauere Untersuchung der Reihen \(\sum_{n=0}^\infty a_nP_n(x)\) gründet sich auf folgende Betrachtung. Es sei \(x=g(t)\) eine Funktion, die das unendliche Gebiet der \(x\)-Ebene außerhalb \(S\) auf das Innere des Einheitskreises der \(t\)-Ebene abbildet, und zwar so, daß dem Punkte \(x=\infty\) der Punkt \(t=0\) entspricht. Dann ist \[ g(t)=\tfrac at + P(t), \] wo \(P(t)\) eine Potenzreihe mit nur positiven Potenzen von \(t\) bedeutet, die für \(|t| < 1\) konvergiert. Da aber die Begrenzung von \(S\) aus einem einzigen regulären Zuge besteht, konvergiert \(P(t)\) sogar für \(|t|<1+r\), wo \(r_1\) eine positive Größe bezeichnet, und es läßt sich eine positive Größe \(r\) in den Grenzen \((0\dots r_1)\) angeben, so daß für \(s < r\) den Kreisen \[ |t|=1+s \] der \(t\)-Ebene in der \(x\)-Ebene geschlossene Kurven \(C_{1+s}\) ohne Doppelpunkt entsprechen, die ganz in dem Gebiete \(S\) verlaufen.
Bildet man jetzt den Ausdruck \[ \frac{dg(t)}{dt} \cdot \frac{1}{g(t)-x}\,, \] so ergeben sich vermöge des Cauchyschen Integrals \[ \frac{1}{2\pi i} \int \frac{F(z)}{z-x}\;dz \] für \(z=g(t)\) die Polynome \(P_n(x)\) als die Koeffizienten der Entwicklung nach Potenzen von \(t\); es ist nämlich dieser Ausdruck gleich \[ -\tfrac 1t +\sum_{n=0}^\infty P_{n+1}(x)t^n. \] Wenn \(\overline{\lim} \root n \of{a_n}=\omega\) den Wert \(r\) erreicht oder überschreitet so läßt sich einstweilen über die Konvergenz der betrachteten Reihe noch gar nichts feststellen. Ist aber \(\omega<1+r\), so konvergiert die Reihe absolut und gleichmäßig in jedem Gebiete, das ganz innerhalb \(C_\omega\) liegt, und stellt dort eine einzige analytische Funktion dar. Außerhalb \(C_\omega\) divergiert die Reihe, während sich über ihr Verhalten auf der Kurve \(C_\omega\) im allgemeinen keine Aussagen machen lassen. Wohl aber läßt sich zeigen, daß die durch die Reihe dargestellte Funktion auf der Grenzkurve \(C\) mindestens einen singulären Punkt hat.

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