Sur la détermination de la croissance des fonctions entières définies par un développement de Taylor. (French) JFM 34.0440.01

Lindelöf, E.

Darb. Bull. (2) 27, 213-226 (1903).

Es sei 1) \(f(x) = c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots\) eine Potenzreihe, \(M{(r)}\) das Maximum ihres Moduls auf dem Kreise \(|x|=r\), \(T{(r)}\) sei das größte der Glieder \(|c_n|r^n\); jedem Werte von \(r\) werde eine ganze Zahl \(n_r\) Zuge ordnet von der Art, daß \(\root^n \of{|c_n|}\,r<k(<1)\) für \(n \geqq n_r\) ist; dann ist \(M{(r)}>T{(r)}\) und \(M{(r)}<n_rT_r\). Diese beiden Ungleichungen genügen für die asymptotische Berechnung von \(M{(r)}\).
Bedeutet \(A\) eine positive Konstante, und ist für jeden positiven Wert von \(\varepsilon\) \(\alpha\)) \(\root^n \of{|c_n|} < \left(\frac{1+\varepsilon}{An} \right)^{\frac 1\varrho}\) von einem bestimmten Zeiger \(n_0\) an, und \(\beta\)) \(\root^n \of{|c_n|} > \left(\frac{1-\varepsilon}{An}\right)^{\frac 1\varrho}\) für unendlich viele Zeiger \(n_1,n_2,\dots\), wie klein auch \(\varepsilon\) sein mag, \(M{(r)} < e^{\frac{1+\varepsilon}{Ae \varrho}\, r^\varrho}\) von einem endlichen Werte von \(r\) an, und \(M{(r)}> e^{\frac{1-\varepsilon}{Ae \varrho} r^\varrho}\) für unendlich viele Werte von \(r\), die jede gegebene Größe überschreiten.
Damit das Maximum des Moduls der Reihe 1) der asymptotischen Gleichung \(M{(r)}=e^{\frac{1+\varepsilon(r)}{Ae \varrho}\, r^\varrho}\) genügt, ist notwendig und hinreichend, daß für jeden positiven Wert von \(\varepsilon\) die Ungleichung \(\alpha\)) von einem bestimmten Zeiger \(n_0\) an erfüllt ist und die Ungleichung \(\beta\)) für unendlich viele Zeiger \(n_1, n_2, \dots,n_\nu,\dots\), für welche \(\lim_{\nu=\infty} \left( \frac{n_\nu+1}{n_\nu} \right)=1\) ist.
Wenn für jeden positiven Wert von \(\varepsilon\) die Ungleichung \[ \root n \of{|c_n|}<\left(\frac 1n \right)^{\frac 1\varrho - \varepsilon} \] von einem endlichen Werte von \(n\) an befriedigt wird und die Ungleichung \(\root^n \of{|c_n|} > \left(\frac 1n \right)^{\frac 1\varrho+\varepsilon}\) für unendlich viele Zeiger \(n_1,n_2,\dots,n_\nu,\dots\), für die \(\lim_{\nu=\infty} \left(\frac{\log n_\nu+1}{\log n_\nu} \right)=1\) ist, so ist \(M{(r)}=e^{\varrho+\varepsilon{(r)}}\); und umgekehrt.
Diese Methode ist anwendbar wenn die Größenordnung \(\root n \of{|c_n|}\) von der Form \(1/\varphi(n)\) ist, wo \(\varphi(n)\) eine wachsende Funktion ist, die aus Potenzen, superponierten Logarithmen oder Exponentialgrößen zusammengesetzt ist. Es werden die Fälle \(\varphi(n)=e_k(n^\varrho)\) und \(\varphi(n)=(\log_{k^n})^{\frac 1\varrho}\) behandelt; darin ist \(e^x=e_1(x),e^{e_1(x)}=e_2(x),\dots,e^{e_{k-1}(x)}=e^k(x)\); \(\log(\log x)=\log_2x,\dots,\log(\log_{k-1}x)=\log_kx\). Im ersten Falle ergibt sich:
Wenn die Ungleichungen \[ \root^n \of{|c_n|}< \frac{1}{e_k[(1-\varepsilon) n^\varrho]} \quad \text{und} \quad \root^n \of{|c_n|}> \frac{1}{e_k[(1+ \varepsilon) n^\varrho]} \] befriedigt werden, wie klein auch \(\varepsilon\) sein mag, die erste von einem endlichen Werte von \(n\) an, die zweite für unendlich viele Zeiger: \[ n_1,n_2,\dots,n_\nu,\dots, \] für welche \(\lim_{\nu=\infty} \left(\frac{n_\nu+1}{n_\nu} \right)=1\) ist, so ist das Maximum \(M{(r)}\) der Funktion \(c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots\) von der Form \[ e^{[1+\varepsilon{(r)}]\log r(\log_kr)^{\frac 1\varrho}} \quad \text{oder} \quad e^{[1+\varepsilon{(r)}] \varrho \left(\frac{\log r}{\varrho+1}\right)^{\frac{\varrho+1}{\varrho}}}, \] je nachdem \(k > 1\) oder \(k = 1\) ist; und umgekehrt.

Reviewer: Weltzien, Prof. (Zehlendorf)

MSC:

30D20	Entire functions of one complex variable (general theory)
41A58	Series expansions (e.g., Taylor, Lidstone series, but not Fourier series)

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.