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On the homogeneons linear difference equation of the second order with linear coefficients. (English) JFM 35.0348.01

Messenger (2) 34, 52-71 (1904).
In der Abhandlung wird eine vollständige Untersuchung der funktionellen Natur der Lösung der linearen Differenzengleichung geleistet: \[ (a_2x+b_2)f(x+2) + (a_1x+b_1)f(x+1) + (a_0x+b_0)f(x) = 0, \] in der die Konstanten \(a_i\) und \(b_i\) irgendwelche reellen oder komplexen Werte haben, \(x\) die komplexe Variable ist. Die Methode der Untersuchung ist dieselbe wie bei Webb (vergl. das nachfolgende Referat, JFM 35.0348.02). Die Literatur des Gegenstandes ist in der Einleitung angegeben. Es wird gezeigt, daß in dem allgemeinen Falle die Lösung auf das vollständige System hypergeometrischer Funktionen führt, das ursprünglich von Kummer in der Theorie der linearen Differentialgleichungen entdeckt ist, und zu dessen Entwicklung die Forschungen Riemanns so viel beigetragen haben. Die Lösung kann in allen Fällen so geschrieben werden: \(f(x)=\varpi_1(x)f_1(x) + \varpi_2(x)f_2(x)\), wo \(\varpi_1(x)\) und \(\varpi_2(x)\) willkürliche einfach periodische Funktionen von \(x\) mit der Periode 1 sind, \(f_1(x)\) und \(f_2(x)\) einwertige eindeutige meromorphe Funktionen von \(x\) sind mit Folgen von Polen von ähnlichem Typus wie in Systemen kongruenter Punkte. Als eine Anwendung werden die linearen Differenzengleichungen für die Legendreschen und Besselschen Funktionen betrachtet.

Citations:

JFM 35.0348.02