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On the application of elliptic modular functions to a theorem of general function theory. (Über die Anwendung der elliptischen Modulfunktionen auf einen Satz der allgemeinen Funktionentheorie.) (German) JFM 35.0401.03

Zürich. naturf. Ges. 49, 242-253 (1904).
Von É. Picard rührt der wichtige Satz her: Eine ganze transzendente Funktion, die zwei Werte \(A\) und \(B\) nicht annimmt, ist gleich einer Konstante (F. d. M. 11, 267, 1879, JFM 11.0267.01; 12, 327, 1880, JFM 12.0327.01; vergl. auch Picards Traité, Bd. III, S. 346). Bei dem Beweise benutzte Picard die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, und es war daher ein wesentlicher Fortschritt, daß es Borel gelang, den Beweis lediglich mittels elementarer funktionentheoretischer Hülfsmittel zu erbringen (F. d. M. 27, 321, 1896, siehe JFM 27.0321.01 u. JFM 27.0321.02; 28, 322, 1897, JFM 28.0360.01 ?). Freilich gestaltet sich diese Herleitung, sobald man die Andeutungen Borels durchführen will, recht umständlich; sie wird erheblich durchsichtiger, wenn man den Cauchyschen Integralsatz heranzieht, wie es F. Schottky (JFM 35.0401.01) tut.
Unter dem reduzierten Werte des natürlichen Logarithmus einer komplexen Größe \(u\) versteht Schottky den Wert, dessen imaginäre Koordinate zwischen \(-\pi\) und \(+\pi\) liegt, die untere Grenze aus-, die obere eingeschlossen. Es seien ferner um den Punkt \(x_0\) der Ebene der komplexen Größe \(x\) zwei Kreise mit den Radien \(r\) und \(r'\) beschrieben, \(r\) sei größer als \(r'\); die beiden Kreisflächen, die begrenzenden Kreislinien eingeschlossen, sollen mit \(K\) und \(K'\) bezeichnet werden. Ist dann \(u\) eine in \(K\) nicht verschwindende, reguläre Funktion von \(x\), und wird \(\log(u)\) so definiert, daß es in \(x_0\) den reduzierten Wert hat, so ergeben sich mittels des Cauchyschen Integrales die Sätze:
I. Wenn in der Fläche \(K\) die absoluten Beträge von \(u\) und \(1:u\) den Wert \(M\) nicht übersteigen, so ist in der Fläche \(K'\): \[ |\log(u)| < \pi + q\log(M). \] II. Wenn der absolute Wert von \(u\) in der Fläche \(K\) einen Wert \(M\) nicht übersteigt, der größer oder gleich eins ist, und wenn er im Mittelpunkte \(x_0\) größer oder gleich \(m\) ist, so hat man in der Fläche \(K'\): \[ |\log(u)| < \pi + 2q\log\left(\frac M{\sqrt m}\right); \] dabei ist \[ q = \frac{r+r'}{r-r'} \] zu setzen.
Endlich gilt noch der Satz:
III. Sind \(z\), \(a\), \(b\), \(c\) vier verschiedene reelle oder komplexe Größen, und ist \(w\) der reduzierte Wert des Logarithmus des Doppelverhältnisses \((z,\, a,\, b,\, c)\), so ist der reelle Logarithmus des absoluten Betrages von \(1:(1-e^{-w})\) kleiner als eins, wenn der absolute Betrag von \(w\) größer oder gleich eins ist, und kleiner als zwei, vermehrt um den absoluten Betrag des beliebig zu nehmenden Logarithmus von \(w\), wenn der absolute Betrag von \(w\) kleiner als eins ausfällt.
Auf Grund dieser Hülfssätze wird dann das Theorem bewiesen:
Ist \(z\) eine Funktion von \(x\), die sich im Innern des Kreises \[ |x - x_0| < r \] wie eine rationale Funktion verhält und keinen der drei Werte \(a\), \(b\), \(c\) annimmt, so bilde man die Logarithmen der sechs Doppelverhältnisse von \(z\), \(a\), \(b\), \(c\), und zwar so, daß sie im Punkte \(x_0\) reduzierte Werte annehmen. Die absoluten Werte dieser Logarithmen für den Punkt \(x_0\) sind dann paarweise gleich; der kleinste von ihnen heiße \(n\). Dann ist im Innern des Kreises der absolute Betrag aller sechs Logarithmen kleiner als \[ \frac{2^{24}}{\sqrt n}\left(\frac r{r-|x-x_0|}\right)^4. \] Aus diesem Theorem ergibt sich fast unmittelbar der Picardsche Satz, und man wird dabei auch auf die sogleich zu besprechende Verallgemeinerung dieses Satzes von E. Landau (JFM 35.0401.02) geführt.
Die bemerkenswerte Verallgemeinerung, die man Landau verdankt, besteht in der folgenden Tatsache. Der Picardsche Satz läßt sich auch in der Form aussprechen: Wenn eine ganze transzendente Funktion \[ F(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 +\cdots \] gegeben ist, in der \(a_0\) von 0 und 1, \(a_1\) von 0 verschieden ist, so gibt es immer Zahlen \(x\), für die \(F(x)\) die Werte 0 oder 1 annimmt. Landau fügt hinzu: es gibt eine nur von \(a_0\) und \(a_1\) abhängende Zahl \(R\), die also von allen folgenden Koeffizienten \(a_2\), ... unabhängig ist, so daß im Kreise \(|x| < R\) mindestens ein \(x\) liegt, für das \(F(x)\) einen der beiden Werte 0 oder 1 annimmt.
Der Beweis, der auf einer Abänderung des Borelschen Gedankenganges beruht, leistet aber noch mehr. Bei ihm wird kein Gebrauch davon gemacht, daß \(F(x)\) eine ganze transzendente Funktion ist; vielmehr wird nur vorausgesetzt, daß die Potenzreihe \[ a_0 + a_1x + a_2x^2 +\cdots \] für \(|x| < R\) konvergiert. Es gilt daher der Satz:
Wenn man die Gesamtheit der im Punkte \(x = 0\) regulären Funktionen \(F(x)\) betrachtet, für welche \(F(0)\) einen und denselben von 0 und 1 verschiedenen Wert \(a_0\) hat, und \(F'(0)\) einen und denselben von 0 verschiedenen Wert \(a_1\), so gibt es eine feste, nur von \(a_0\) und \(a_1\) abhängige Zahl \(R\), so daß im Kreise \(|x| < R\) jede dieser Funktionen \(F(x)\) entweder eine singuläre Stelle hat oder einen der beiden Werte 0 oder 1 annimmt.
Dieser Satz gilt im besonderen für die ganzen rationalen Funktionen von \(x\), wo er eine rein algebraische Tatsache ausdrückt. Es läßt sich leicht zeigen, daß umgekehrt aus der Gültigkeit des Satzes für rationale Funktionen seine Gültigkeit für unbeschränkt und beschränkt konvergente Potenzreihen gefolgert werden kann. Damit eröffnet sich die Aussicht auf einen neuen, einfachen Beweis des Satzes von Picard, bei dem zuerst mit algebraischen Hülfsmitteln das Theorem von Landau für ganze rationale Funktionen herzuleiten wäre, woraus dann durch einfache funktionentheoretische Schlüsse der Satz von Picard gewonnen werden könnte. Allerdings scheint der algebraische Beweis jenes algebraischen Satzes nicht leicht zu sein.
Die Größe \(R\) wird in ihrer Abhängigkeit von \(a_0\) und \(a_1\) durch fünf Ungleichheiten definiert. Setzt man \[ R = (2\lambda)^{17}, \] so ist \(\lambda\) die kleinste Zahl, die den Ungleichheiten genügt: \[ \begin{aligned} \lambda &\geq \frac{32|a_0|}{|a_1|} (1 + |h'| + |k'|),\tag{1}\\ \lambda &\geq 2(|h| + |k|),\tag{2}\\ \lambda &\geq \log(h^2+100) + 9,\tag{3}\\ \lambda &\geq |\log(h^2+k^2)| + 8,\tag{4}\\ \lambda &\geq \frac{10^{28}\cdot2^{17}|1-a_0|}{|a_1|};\tag{5}\end{aligned} \] hierin bedeuten \(h'\), \(k'\), \(h\), \(k\) die vier reellen Größen, die durch die Relationen \[ \begin{aligned} a_0 &= e^{h'+k'i}\qquad (-\pi<k'\leq\pi),\\ 1 - a_0 &= e^{h+ki}\qquad (-\pi<k\leq\pi)\end{aligned} \] eindeutig bestimmt sind und nur von \(a_0\) abhängen.
Am Schlusse seiner Abhandlung gibt Landau einen zweiten Beweis seines Satzes, bei dem er, wie Picard es getan hatte, die Theorie der elliptischen Modulfunktionen heranzieht. Er findet auf diesem Wege auch einen Ausdruck für \(R\), den er aber nicht weiter untersucht. An dieser Stelle hat A. Hurwitz eingesetzt und ist zu einer wesentlich einfacheren Bestimmung von \(R\) gelangt.
Es sei \[ J = \frac{g_2^3}{g_2^3-27g_3^2} \] die bekannte elliptische Modulfunktion des Argumentes \(\omega\), und \(\omega_0\) der dem Werte \(J=a_0\) entsprechende Hauptwert von \(\omega\), ferner \[ h_0 = e^{2i\pi\omega_0}. \] Dann ist \[ R\leq 12\sqrt3\cdot \Big|\prod_{r=1}^\infty(1-h_0^r)^4 \Big| \cdot\frac1{|a_1|}\cdot \root3\of{|a_0|^2}\cdot \sqrt{|a_0-1|}. \] Da der absolute Betrag von \(h_0\) kleiner als \(e^{-\pi\sqrt3}\) ist, ergibt sich hieraus: \[ R < 22\root3\of{|a_0|^2}\cdot \sqrt{|a_0-1|}. \] Wie Hurwitz in einer Anmerkung sagt, laßt sich durch eine nähere Untersuchung noch eine Verschärfung dieser Ungleichheit erzielen, so daß 16 an die Stelle von 22 tritt. Es wäre zu wünschen, daß für die Werte von Hurwitz ein elementarer funktionentheoretischer Beweis geliefert würde.
Nach dem Erscheinen der drei Abhandlungen, über die hier berichtet wurde, hat C. Carathéodory (C. R. 26. Dez. 1905) die Ergebnisse von Landau in bemerkenswerter Weise verallgemeinert.

MSC:

30D35 Value distribution of meromorphic functions of one complex variable, Nevanlinna theory