Elementary theory of entire transcendental functions of finite order. (Elementare Theorie der ganzen transzendenten Funktionen von endlicher Ordnung.) (German) JFM 35.0405.01

Pringsheim, A.

Math. Ann. 58, 257-342 (1904).

Die Abhandlung begründet einige der in den letzten Jahren gefundenen Hauptsätze der Theorie der ganzen transzendenten Funktionen durch sogenannte “elementare” Methoden, also unter Verzicht auf den Infinitesimalkalkül, und die komplexe Integration. Sie zerfällt in vier Kapitel, deren erstes die Koeffizienteneigenschaften der ganzen Funktionen von endlicher Ordnung entwickelt; hierunter werden diejenigen ganzen Funktionen verstanden, für welche sich eine bestimmte “Ordnungszahl” \(\alpha\) (der “Ordre apparent” der französischen Autoren) finden läßt, derart daß \[ \begin{aligned} |G(x)| &< e^{|x|^{\alpha+\delta}}\text{ für alle }|x| > R_\delta,\\ |G(x)| &> e^{|x|^{\alpha-\delta}}\text{ für gewisse beliebig große }x.\end{aligned} \] Das zweite behandelt die ganzen Funktionen, welche keine oder nur endlich viele Nullstellen besitzen, und beweist den Satz von Picard in seiner einfachsten Form. Das dritte untersucht die ganzen Funktionen mit unendlich vielen Nullstellen, insbesondere die primitiven ganzen Funktionen (die kanonischen Produkte der Weierstraßschen Theorie) von endlichem Range und legt den Zusammenhang zwischen Ordnung, Rang und Grenzexponent (Konvergenz-, resp. Divergenzexponent) dar. Schließlich werden im vierten Kapitel die Eigenschaften der ganzen Funktionen von endlicher Höhe festgestellt, und der Picardsche Satz wird in schärferer Weise präzisiert.

Reviewer: Landsberg, Prof. (Kiel)

MSC:

30D35

Value distribution of meromorphic functions of one complex variable, Nevanlinna theory

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Functions of finite order; value distribution; Picard’s theorem