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Réduction d’un réseau de formes quadratiques on bilinéaires. (Deuxième partie.). (French) JFM 38.0151.01

Der erste Teil dieser Untersuchung, der der Reduktion eines Netzes quadratischer Foemen gewidmet war, ist im vorigen Jahrgange S. 136 besprochen worden. Es handelt sich jetzt um die Erweiterungen auf bilineare Formen. Eine lineare Schar (Netz) von solchen wird zusammengefaßt durch die trilineare Form (1) \(T_{lmn}=\varSigma a_{\alpha\beta\gamma}\lambda_{\alpha}\mu_{\beta}x_{\gamma}\) in bzw. \(l\), \(m\), \(n\) Variabeln \(\lambda\), \(\mu\), \(x\). Jedes dieser Variabelnsysteme wird linearen Substitutionen unterworfen und \(T\) dadurch auf kanonische Gestalten gebracht.
Die anzuwendenden Methoden sind dieselben wie bei quadratischen Formen, nur daßdie Ergebnisse jetzt weit mannigfaltiger werden. Zunächst wird der Begriff der Irreduzibilität einer Form \(T\) aufgestellt. Setzt man \(T=\varSigma L_{\beta\gamma}\mu_{\beta}x_{\gamma}\), wo die \(L\) linear in den \(\lambda\) sind, und sind nur \(l'(<l)\) der \(L\) unabhängig, so führe man diese als Variable \(\lambda\) ein, womit die Anzahl der Variabeln des ersten Systems reduziert ist. Analog verfahre man mit den Variabeln \(\mu\) und \(x\). Ist eine weitere Reduktion dieser Art nicht mehr möglich, so heißt \(T_{lmn}\) irreduzibel. Es ist dann \(l\leqq mn\), \(m\leqq ln\), \(n\leqq lm\). Ist im besonderen eine der Zahlen \(l\), \(m\), \(n\), z. B. \(l\), gleich 1, so folgt \(m=n\), und man kann setzen \(T_{1nn}=\lambda\varSigma a_{\beta\gamma}\mu_{\beta}x_{\gamma}(\alpha,\beta=1,2,\dots,n)=\lambda\varSigma M_{\gamma}x_{\gamma}\). Wählt man hier die \(M\) als unabhängige Variabeln \(\mu\), so wird \(T_{1nn}=\lambda\varSigma\mu_{\gamma}x_{\gamma}\), womit in diesem falle in der Tat eine kanonische Gestalt hergestellt ist.
Weniger einfach wird die Lösung des Problems, wenn jede der drei Zahlen \(l\), \(m\), \(n\) die Einheit übersteigt.
Der Verf. beschränkt sich auf die beiden Fälle a) \(l=2\), b) \(l=m=n=3\). Im ersteren Falle ist \(T_{2nn}=\lambda_{1}\varphi_{1}+\lambda_{2}\varphi_{2}\), wo \(\varphi_{1},\varphi_{2}\) in den \(\mu\) und \(x\) bilinear sind. Man hat dann ein ähnliches Problem vor sich, wie das früher gelöste der Reduktion eines Büschels von quadratischen Formen, nur daßhier die explizite Ausführung eine Reihe bemerkenswerter Besonderheiten aufweist. Das Ergebnis ist, daßman mit Hülfe von Substitutionen, die sich allein auf die \(\mu\) und \(x\) beziehen, die Formen \(\varphi_{1}\) und \(\varphi_{2}\) simulant auf folgende kanonische Gestalt bringen kann: \(\varphi_{1}=\varphi_{1}'+\varphi_{1}^{\prime\prime}+\cdots\), \(\varphi_{2}=\varphi_{2}'+\varphi_{2}^{\prime\prime}+\cdots\), wo die “einfachen” Systeme \((\varphi_{1}',\varphi_{2}')\), \((\varphi_{1}^{\prime\prime},\varphi_{2}^{\prime\prime})\),\(\cdots\) keine Variable gemein haben, und wo irgendeines dieser Systeme, z. B. das erste, einen der vier folgenden Ausdrücke besitzt: \[ \begin{aligned} & \text{(a)} \quad \varphi_{1}'=\mu_{1}x_{1}+\mu_{2}x_{2}+\cdots+\mu_{r}x_{r}, \quad \varphi_{2}'=\mu_{2}x_{1}+\mu_{3}x_{2}+\cdots+\mu_{r+1}x_{r};\\ & \text{(b)} \quad \varphi_{1}'=\mu_{1}x_{1}+\mu_{2}x_{2}+\cdots+\mu_{r}x_{r}, \quad \varphi_{2}'=\mu_{1}x_{2}+\mu_{2}x_{3}+\cdots+\mu_{r}x_{r+1};\\ & \text{(c)} \quad \varphi_{1}'=\mu_{1}x_{1}+\mu_{2}x_{2}+\cdots+\mu_{r}x_{r}, \quad \varphi_{2}'=\mu_{2}x_{1}+\mu_{3}x_{2}+\cdots+\mu_{r}x_{r-1}+s(\mu_{1}x_{1}+\mu_{2}x_{2}+\cdots+\mu_{r}x_{r});\\ & (d) \quad \varphi_{1}'=\mu_{2}x_{1}+\mu_{3}x_{2}+\cdots+\mu_{r}x_{r-1}, \quad \varphi_{2}'=\mu_{1}x_{1}+\mu_{2}x_{2}+\cdots+\mu_{r}x_{r}.\end{aligned} \] Hier ist im Falle (c) die Größe \(s\) eine Invariante, die für den Grenzfall \(s=\infty\) zu (d) führt. Das Prinzip des Beweises ist immer das nämliche, die Anzahl der bezüglichen Variabeln jeweils auf die geringste Anzahl unabhängiger zu reduzieren.
Es sei etwa der Fall betrachtet, daßeine der beiden Formen \(\varphi_{1}\), \(\varphi_{2}\), z. B. die letztere, nur einen Teil der Variabeln \(\mu\), \(x\) enthält; dies tritt sicher ein, wenn entwender \(m\) und \(n\) verschiedenen sind, oder für \(m=n\), wenn die Determinante von \(\varphi_{2}\) verschwindet. Es ist dann \(\varphi_{2}M_{1}X_{1}+\cdots+M_{k}X_{k}\), wo die \(X\) linear unabhängige Formen der \(x\) sind. Man nehme dann die \(M\) und \(X\) als unabhängige Variabeln an Stelle einer gleich großen Anzahl der \(\mu\), \(x\). Weiter kann man, ohne jene Gestalt von \(\varphi_{2}\) zu ändern, einmal eines der beiden Systeme der \(M\), \(X\) einer linearen Substitution, andererseits die übrigen, nicht mehr in \(\varphi_{2}\) auftretenden Variabeln willkürlich ändern. Weitere Umformungen werden mittels der partiellen Ableitungen von \(\varphi_{1}\) nach den \(x\), von \(\varphi_{2}\) nach den \(\mu\) und \(M\) vorgenommen sind, wo ein solches System von Ableitungen linear unabhängig ist oder nicht.
Die Einzelresultate werden für verschiedene Werte von \(m\) und \(n\) zusammengestellt. So existiert für \(m=2\), \(n=1\) nur der eine Typus \(\lambda_{1}\mu_{1}x_{1}+\lambda_{2}\mu_{2}x_{2}\), für \(m=1\), \(n=2\) der eine: \(\lambda_{1}\mu_{1}x_{1}+\lambda_{2}\mu_{1}x_{2}\); für \(m=2\), \(n=2\) hat man die beiden Typen \[ \lambda_{1}\mu_{1}x_{1}+\lambda_{2}\mu_{2}x_{2}, \quad \lambda_{1}(\mu_{1}x_{1}+\mu_{2}x_{2})+\lambda_{2}\mu_{2}x_{1}, \quad \text{usf}. \] Nunmehr wird die Reduktion der Form \(T_{333}=\sum a_{\alpha\beta\gamma}\lambda_{\alpha}\mu_{\beta}x_{\gamma}=\lambda_{1}\varphi_{1}+\lambda_{2}\varphi_{2}+\lambda_{3}\varphi_{3}\) untersucht, die ein Netz bilinearer Formen in den \(\mu\), \(x\) repräsentiert. Der Verf. bedient sich hier wieder mit Vorteil einer geometrischen Deutung. Jedem Punkte \(P=(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3})\) einer Ebene entspricht, bis auf einen Faktor, eine Form des Netzes. Die Determinante \(\varDelta\) des Netzes ist homogen und vom dritten Grade in den \(\lambda\). Die Formen mit \(\varDelta=0\) entsprechen den Punkten einer \(C_{3}\); irgendeine dieser Formen läßt sich auf die kanonische Gestalt \(\mu_{1}x_{1}+\mu_{2}x_{2}\) bringen, die sich auf \(\mu_{1}x_{1}\) reduziert, wenn auch alle ersten Minoren von \(\varDelta\) verschwinden. Sind \(P_{1}\), \(P_{2}\) irgend zwei Punkte, \(\psi_{1}\), \(\psi_{2}\) die entsprechenden Formen, so korrespondieren den Punkten der Geraden \(g=P_{1}P_{2}\) die Formen des “\(g\)-Büschels” \(l_{1}\psi_{1}+l_{2}\psi_{2}\).
Befinden sich unter den je sechs Ableitungen der \(\psi_{1}\), \(\psi_{2}\) nach den \(x\), bzw. nach den \(\mu\) gerade \(p\), bzw. \(q\) linear verschiedene, so kann man diese als neue Variabeln einführen. Den Schnittpunkten von \(g\) mit der \(C_{3} : \varDelta=0\) entsprechen drei Formen des Büschels \((\psi_{1},\psi_{2})\) mit verschwindender Determinante. Die Geraden \(g\) werden in Arten eingeteilt, entsprechend den früher aufgestellten Typen für \(\varphi_{1}\), \(\varphi_{2}\). Das weitere Verhalten der Formen richtet sich nach den verschiedenen projektiven Klassen der \(C_{3}:\varDelta=0\). Entweder ist (I) \(C_{3}\) eigentlich und ohne Spitze, oder (II) die \(C_{3}\) ist zwar noch eine eigentliche, besitzt aber eine Spitze \(P\) und einen Wendepunkt \(Q\), oder (III) bis (IX), die \(C_{3}\) besitzt als Teil eine Gerade der ersten, bzw. zweiten, dritten,... Art, oder (X), die \(C_{3}\) zerfällt in drei Gerade. Die jeweilige arithmetische Diskussion verläuft im engen Anschlußan die geometrische.
Am Schlusse wird eine Tafel der erhaltenen 51 verschiedenen Formentypen aufgestellt nebst den dazugehörigen invarianten Charakteren. Für die erzeugenden Formen \(\varphi_{1}\), \(\varphi_{2}\), \(\varphi_{3}\) werden jeweils die kanonischen Gestalten notiert; daneben stehen die entsprechenden Faktoren von \(\varDelta\), weiter die invarianten Eigenschaften dieser Faktoren, endlich die Anzahl der monomen Formen. So z. B. ist der zweite Typus dargestellt durch \[ \varphi_{1}=\mu_{1}x_{2}-\mu_{2}x_{1}, \quad \varphi_{2}=\mu_{2}x_{2}+\mu_{3}x_{3}, \]
\[ \varphi_{3}=\mu_{1}(x_{2}+x_{3})+\mu_{2}(x_{1}+x_{3})+\mu_{3}(-x_{1}+x_{2}), \] \(\varDelta\) ist unzerlegbar, die \(C_{3}\) hat eine Spitze, es existiert keine monome Form. Beim letzten Typus, wo \(\varDelta\) identisch verschwindet, ist \(\varphi_{1}=\mu_{3}x_{1}-\mu_{1}x_{3}, \quad \varphi_{2}=\mu_{3}x_{2}-\mu_{2}x_{3}, \quad \varphi_{3}=\mu_{1}x_{2}-\mu_{2}x_{1}\).
Damit hat der Verf. seiner Reihe grundlegender Untersuchungen über die arithmetische Reduktion quadratischer und bilinearer Formen eine weitere wesentliche hinzugefügt; eine kurze, zusammenfassende Darstellung würde vielen Lesern erwünscht sein.

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