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Über die Konvergenz einiger Klassen von unendlichen Reihen am Rande des Konvergenzgebietes. (German) JFM 38.0295.01

Es sei \(a_{1},a_{2},\dots,a_{n},\dots\) eine Folge komplexer Größen, welche der Bedingung (1) \(\lim n\log n\, a_{n}=0\) \((n=\infty)\) genügen; es sei \(f(x)\) die wegen (1) mindestens für \({\mathfrak R}(x)>0\) konvergente Dirichletsche Reihe \(\sum a_{n}/n^{x}(n=1,\dots,\infty)\), und es wurde vorausgsetzt, daßfür positive abnehmende \(x\) \(\lim f(x)=A\) (für \(x=0\)) existiert. Dann konvergiert die unendliche Reihe \(\sum a_{n}(n=1,\dots,\infty)\), und es ist \(\sum a_{n}=A\).
Es sei \(\lim\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{n}-\lambda_{n-1}}\,a_{n}=0\) für \(n=\infty\), so daßdie Reihe \(f(x)=\sum a_{n}e^{-\lambda}n^{x}\) \((n=1,\dots,\infty)\) jedenfalls für \({\mathfrak R}(x)>0\) konvergiert; es existiere ferner für positive abnehmende \(x\) \(\lim f(x)=A\) für \(x=0\). Dann konvergiert \(\sum a_{n}(n=1,\dots,\infty)\), und es ist \(\sum a_{n}=A\).
Erstens sei \(\lim na_{n}=0\) für \(n=\infty\); zweitens existierte \(\lim f(x_{\nu})=A\) (für \(\nu=\infty\)) für irgendeine abzählbare Folge von Punkten \(x_{1},x_{2},\dots,x_{\nu},\dots\) im Einheitskreise \((| x_{\nu}|<1)\), welche den Bedingungen genügen, daß, \(x_{\nu}=1- \frac{1}{\sigma_{\nu}}e^{\varphi_{\nu}i}\left (\sigma_{\nu}>0,- \frac{\pi}{2}<\varphi_{\nu}<\frac{\pi}{2}\right )\) gesetzt, \(\lim 1/\sigma_{\nu}=0\) für \(\nu\infty\), also \(\lim x_{\nu}=1\) für \(\nu=\infty\) und \(\limsup|\varphi_{\nu}|<\frac{pi}{2}\) für \(\nu=\infty\) ist. Dann existiert \(\lim_{\nu=\infty}\sum^{[\sigma_\nu]}_{n=1} a_n\) und ist gleich \(A\).
Es sei \(\lim_{\nu=\infty}\,\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{n}-\lambda_{n-1}}\,a_{n}=0\); ferner sei \(x_{1},x_{2},\dots,x_{\nu}=\frac{1}{\sigma_{\nu}}e^{\varphi_{\nu}i},\dots\) eine Punktmenge, welche den Bedingungen \(\sigma_{\nu}>0\), \(\lim_{\nu=x}\frac{1}{\sigma_{\nu}}=0\), \(- \frac{\pi}{2}<\varphi_{\nu}<\frac{\pi}{2}\), \(\limsup_{\nu=\infty}|\varphi_{\nu}|<\frac{\pi}{2}\) genügt. Für diese Punktmenge sei \(\lim f(x_{\nu})=A\) für \(\nu=\infty\); dann ist \(\lim_{\nu=\infty}\sum_{n=1}^{\mu_{\nu}}a_{n}=A\), wo \(\mu=\mu_{\nu}\) diejenige Funktion der positiven ganzen Zahl \(\nu\) ist, welche durch die Relationen \(\lambda_{\mu}\leqq\sigma_{\nu}\), \(\lambda_{\mu+1}>\sigma_{\nu}\) eindeutig bestimmt ist.
Es sei \(\lim_{n=\infty}a_{n}\gamma_{n}\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{\gamma_{m}}=0\), also \(f(x)\) für \({\mathfrak R}(x)>0\) konvergent; ferner sei für eine Punktmenge \(x_{\nu}\), welche die Bedingungen des vorigen Satzes erfüllt, \(\lim f(x_{\nu})=A\) für \(\nu=\infty\); dann ist \(\lim_{\nu=\infty}\sum_{n=1}^{\mu_{\nu}}a_{n}=A\), wo \(\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{\gamma_{m}}=\lambda_{n}\) gesetzt ist und \(\mu=\mu_{\nu}\) diejenige Funktion von \(\nu\) bezeichnet, welche durch die Relationen \(\lambda_{\mu}\leqq\sigma_{\nu}\), \(\lambda_{\mu+1}>\sigma_{\nu}\) definiert ist.
Es sei \(\lim_{\omega=\infty}\omega\log\omega\chi(\omega)=0\), also \(J(x)\) mindestens für \({\mathfrak R}(x)>0\) konvergent; es sei ferner für eine Punktmenge \(x_{\nu}\) im Sinne des vorletzten Satzes \(\lim J(x_{\nu})=A\) für \(\nu=\infty\); dann ist \(\lim\int_{1}^{e^{\sigma_{\nu}}}\chi(t)dt\) vorhanden und gleich \(A\).

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References:

[1] ”Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen”, 1897, S. 274–275.
[2] ”Sur la fonction {\(\zeta\)} (s) de Riemann et sur des fonctions analogues” Annales scientifiques de l’école normale supérieure, Ser. 3, Bd. 11, 1894, S. 86–87.
[3] Es würde genügen, von der oberen Grenze dieser Werte zu sprechen; doch gibt es unter ihnen nach (3) offenbar einen Maximalwert, der einmal oder endlich oft vorkommt.
[4] In der Tat ist bekanntlich (nach A bel) für allex&gt;0 die Reihe \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{^\lambda n - ^\lambda n - 1}}{{^\lambda n^{1 + x} }}} \) konvergent, also a fortiori \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{^\lambda n - ^\lambda n - 1}}{{^\lambda n^{e^{\lambda _n x} } }}} \) ; daher konvergiert nach (11) die Reihe \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n e^{---\lambda _n x} } \) für (x) &gt;, sogar absolut. Dagegen folgt die Konvergenz von \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n } \) für kein System {\(\lambda\)}1, {\(\lambda\)}2,... aus (11) allein, da bekanntlich (nach Herrn Dini) \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\varepsilon n\frac{{^\lambda n - ^\lambda n - 1}}{{^\lambda n^{e^{\lambda _n x} } }}} \) stets divergiert, also auch divergente Reihen mit {\(\epsilon\)} n vorhanden sind.
[5] Dies ist leicht direkt einzusehen und im übrigen eine Folge des Satzes von Stolz (”Vorlesungen über allgemeine Arithmetik”, Bd. 1, 1885, S. 173–174; Stolz-Gmeiner, ”Einleitung in die Funktionentheorie”, 1. Abt., 1904, S. 31): ”Wenn {\(\lambda\)}v monoton ins Unendliche wächst und existiert, so existiert und ist=K”. In der Tat ist für woraus (14) folgt.
[6] Natürlich ist in diesem Beispiel die Bedingung (1) nicht erfüllt; sonst würde ja nach Herrn Taubers Entwicklungen die Reihe \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n } \) konvergieren, also doch existieren.
[7] Aus diesen Annahmen folgt ohne weiteres, daß auch die obere Grenze von || kleiner als {\(\pi\)}/2 ist.
[8] Es genügt sogar, daß unter den Werten [{\(\sigma\)}v] eine monoton wachsende Folge ganzer Zahleng 1 , g2, ..., g, ... vorkommt, für welche endlich ist.
[9] Die für diesen Satz von Herrn Jahraus in seiner verdienstvollen Arbeit ”Das Verhalten der Potenzreihen auf dem Konvergenzkreise, historischkritisch dargestellt”, Programm des Kgl. humanist. Gymnasiums Ludwigshafen am Rhein für das Schuljahr 1901/02, auf S. 53–54 gegebene Begründung enthält mehrere Irrtümer.
[10] Die von mehreren Autoren (bei dem analogen Problem der Verallgemeinerung des Abelschen Stetigkeitssatzes) angewandte Ausdrucksweise ”eine beliebige Kurve, die den Einheitskreis nicht berühr” ist nicht korrekt; denn eine Kurve, welche im Punkte 1 keine Tangente hat und der Bedingung genügt, ist eine ”nicht berührende” Kurve, und doch gelten für sie die betreffenden Schlüsse nicht.
[11] Für &lt;{\(\lambda\)}1 sei {\(\mu\)}=0.
[12] Siehe S. 14.
[13] Vgl. über diese Reihen meine Arbeit ”Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen”, Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Bd. 36, 1906, S. 197–208.
[14] Denn bereits aus lim folgt, da für alle hinreichend großenn ist (l. c., S. 199) und die unendliche Reihe konvergiert (l. c., S. 199–200), die (absolute) Konvergenz vonf(x).
[15] L. c., S. 197–208.
[16] Vgl. S. 208–218 meiner erwähnten Arbeit.
[17] Die Gleichung (21) folgt übrigens bereits dann aus dem Satz, wenn in der Punktmengex {\(\nu\)} eine Folge von Punkten mit monoton abnehmenden absoluten Beträgen 1/g({\(\rho\)}=1,2,...) vorkommt, für welche endlich ist.
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